状態ベクトルはなぜ線形空間の元なのか

状態ベクトルがなぜ線形空間の元なのか知りたいです。
量子論で、”系の状態”を何か抽象的な”物”で表すことはまあ良いのですが、その”物”が線形空間の元である理由が分かりません。
公理だと言われてもなかなか受け入れられません。
「線形空間の元だと認めると数々の実験結果を説明できる、だから線形空間の元である」
という説明でなくて、
「◯◯の実験結果から”物”の間には✕✕のような関係が常に成り立っていなければならない。それ故に”物”は線形空間の元である」
だとか
「別に”物”は線型空間の元でなくて良いが、数学的な議論から線形空間の元だとしても同じ結果を与えるので線形空間の元として扱う」
みたいな説明は無いでしょうか。

質問者からの補足コメント

• シュレディンガー方程式がなぜ線形なのかというのはちょっと質問の趣旨とは違います。
  普通、理論を構成していく際には、実験結果や経験に基づいて数学的な性質を入れていくのが経験科学的に受け入れやすいと思います。
  なので、現代的な理解を上手く編成することで、できるだけ唐突な強い要請を入れることなしに量子論への導入を作れないか（その第一歩として状態が線形空間に属することを言えないか）と思った次第です。

    補足日時：2024/05/09 19:58

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/05 22:30

シュレーディンガー方程式がどうやって提案されたのか、一連の論文を追っかけてみると：実験事実とさらにいくつかの仮定のもとにまずは方程式を書き下し、そこから非線形項をアッサリ削り取る、というスンゴイことをやってます。

で、これがナントその後も実験と恐るべき精度でピッタリ合い続けている。単に「非線形じゃ解けないから実用性がない」という理由でやったのがマグレアタリだったのか、もしかして天啓なのか、いやこれこそ天才ってことなのか。（ハイゼンベルクのマトリックス力学では非線形項がどうして入らなかったんだか、これは調べてないんですが。）
　ということは、しかし「実は非線形項があるんだが、分かるほどの効果を生じる実験や観測がまだないだけ」という可能性も否定はできない。すなわち、線形だという仮定の上に組み立てられた理論体系がそれ自体として（すなわち数学として）成立しているけれども、さてその体系がこの世界のモデルになっているのかどうかはまた別、ということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
シュレディンガーの導出にそういう経緯が合ったのは知りませんでした。

実は今回のはJ.J.サクライ的な導出に関連しているのですが、確か（読んだのが昔ですみません）J.J.サクライではスピンから導入してそのあと上向きと下向きの状態が線形空間を張ることを深く議論せず（単に古典的な光の偏光と似ているから線形空間を張るだろうくらいの気持ちで）受け入れていた気がします。

例えばですが、ここに実験事実（上向きのみに対して垂直方向のスピンを測定すると右向きor左向きが五分五分で観測される、など結構強い要請だと思います）を用いたら上向きと下向きの状態が線形空間を張るということが示せないでしょうか。示せれば、そこから拡張して一般に量子的な状態は線形空間を張るということを受け入れられそうなのですが…。

お礼日時：2024/05/06 17:45

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2024/05/10 00:35

貴方が感じているすれ違いは私と貴方の間ではなく、貴方が考えたいと思っている事と実際に考えている事の間にあります。

貴方が考えているような事が証明できたら、量子論自信を否定する事になってしまうので、お考えの事を証明できても
> 量子論の定式化をできるだけ天下り的じゃないように理解したい
には繋がらないんですから。

最低でも証明すべき事を変更する事は必要でしょう。
その上で証明すべき事を自然言語で誤魔化すのではなく、きちんと定式化した方が良いでしょう。

No.5 回答者： Leo-ultra2 回答日時： 2024/05/09 13:50

シュレディンガー方程式的に言うと、状態は波動関数で表されるわけです。

個々の問題によってこの波動関数というものが異なるのですが、どんな形をしているのかが知りたいわけです。よくわからない関数を知るひとつの方法は線形独立な関数シリーズで展開して、その係数の組を明らかにすればいいわけです。フーリエ級数だったり、エルミット関数シリーズだったりするわけです。

じゃあ、量子力学のどんな波動関数も線形空間で分解できるのか、僕にはよくわかりません。しかし、量子力学の教科書に載っている、井戸型ポテンシャル、調和振動子、水素原子などがこの方法で解けるので、割と便利な方法としてよく使われるのだと思います。

「どんな場合も線形空間が使えるか自明ではないですが、井戸型ポテンシャル、調和振動子、水素原子などいろいろな問題が解けるので、使っている」というところではないでしょうか？

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2024/05/07 11:32

状態をどのように表現するのがいいだろうか、と考えている段階で密度行列で表現されるものがどのような意味を持つのかなんて話が出てくるとは思えませんが。

。。


まぁ、どうしても既存の枠組みで言う「純粋状態」のみで考えたいのだとしても、

混合状態そのものを考える事ではなく、密度行列を状態に対応させている事が重要なので、考える状態から純粋状態に対応するもののみだけを考える事にすれば良いだけ。それで
・非線形な量(密度行列)で状態を表現している
・既存の量子論と等価
・純粋状態のみを相手にしている
になる事は明白でしょう。

この回答へのお礼

何だか話がすれ違っているので、私のしたいことを述べておきますと、量子論の定式化をできるだけ天下り的じゃないように理解したいです。
最近の教科書では量子論の基礎部分を公理として天下り的に扱うことが少なくなく、求めている方向とは正反対です。
情報理論との相性の良さが分かった現代なら、数学的にきちんとやれば最もらしい前提だけから量子論の枠組みを導けると思うのです。（例えばボルンの規則をグリーソンの定理から導出するように）

お礼日時：2024/05/07 23:32

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2024/05/06 20:34

例えば混合状態たち全体の集合を考えると、この集合は線型空間ではないので、貴方の探す実験(論拠)は最低でも混合状態を否定するようなものでなければならないのですかね？

もっとも、細かい事を言えば純粋状態も「線型空間の元」に対応させている訳でない(位相因子だけが違う状態は同一の状態だと考えている)ので、純粋状態をも否定するものを探さないといけない可能性すらありそうですが。。。

この回答へのお礼

混合状態の話は全宇宙の状態ベクトルを考えれば純粋状態のはずなので、違う思います。
考えてみたら、状態を足すということの古典的な対応が無いのが混乱な気がしてきました。
逆に、先に物理量を”状態”から固有値を通じて観測量のセットを与える演算子として定義して（同時に、射影測定を実際に固有値を得る操作と定義して）、そこから"状態"は何らかのベクトルではないといけないと結論したほうが良い気がしてきました。（既にそういう切り口で書いた論文や教科書が存在しているのかもしれませんが。それだったら個人的には納得できます。）

お礼日時：2024/05/06 22:46

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/06 16:32

>「◯◯の実験結果から”物”の間には✕✕のような関係が常に

>成り立っていなければならない。それ故に”物”は線形空間の元である」

断言するような実験は不可能。

実験結果は事実の列挙であって、ありそうな法則を推定できるけど
断言は絶対無理。