整数係数の２次方程式

「２次方程式　ａｘ２－ｂｘ＋３ｃ＝０において、　ａ，ｂ，ｃは１桁の自然数であり、２つの解α，βは、１＜α＜２，　５＜β＜６をみたしています。このとき、ａ，ｂ，ｃの値を求めなさい。」
という問題なのですが、xに 3/2 , 11/2 をそれぞれ代入して、整理すると、不合理が出てきました。実際にxに２つのα，βの値を代入して、求めるやり方はどこがいけないのでしょうか。よろしくお願いします。

No.1 回答者： wogota 回答日時： 2001/10/03 00:50

これは、α、βを任意に選べる性格のものではないです。

このような2次方程式では、具体的なα、βを求めるのではなく、
α、βの性質からa,b,cを求めていきます。

まず、解の公式の応用でつぎのことが成り立つのはお分かりですね。
α＋β＝b/a
α・β＝3c/a
また、6<α＋β<8、5<α・β<12が言えるので、これらに代入すると
題の条件とから、a=1,b=7,c=2,3が得られます。
このうち、c=2のときは、x=1,6となるので、題の条件を満たしません。
よって、a=1,b=7,c=3となります。確認のため、
x2-7x+9=0の解を求めると、α、βの条件を満たします。

この回答へのお礼

＞これは、α、βを任意に選べる性格のものではないです。

お返事してくださってどうもありがとうございます！！α、βはそれぞれ、１＜α＜２，　５＜β＜６ をみたしているから、その範囲での値をxに代入しても良さそうだと思ったのですが、なぜだめなのでしょうか。確かに等式の方程式で、不等式の解が出てくることはおかしいと思うのですが、係数が文字だから、一桁の自然数を代入すると、解が１＜α＜２，　５＜β＜６ の範囲に揺れるということですよね。解が上の範囲だったらどれでも良いということではないのでしょうか。すいません、混乱してきました。

お礼日時：2001/10/03 22:05

No.2 ベストアンサー 回答者： red_snake 回答日時： 2001/10/04 00:39

はじめまして。

なぜ代入するのがまずいのかと言うと、それは推測に過ぎないからです。
答えが一つとは限らないからですね。
代入法の場合、多くは帰納法で証明が必要でしょう。
行列なんかをやると係数比較や代入が重要になってきます。

この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。ご質問にお答えくださった皆さんすいませんでした。質問で、
＞xに 3/2 , 11/2 をそれぞれ代入して、整理すると、不合理が出てきました。

と書いたのですが、もう一度計算をしてみると、ちゃんと答えが出ました。ということは、あとはa,b,cの解の必要性を論じればよいのですね。でもZincerさんの仰るように、
α,βの範囲が整数間隔ではなくて小数点まで含む連続する範囲だから、帰納法でやるのは不可能っぽいですね。この場合は数値を代入せずに解と係数の関係で解いていこうと思います。お返事ありがとうございました。

お礼日時：2001/10/05 00:35

No.3 回答者： Zincer 回答日時： 2001/10/04 20:26

s-wordさんは、ある定数ａ，ｂ，ｃが与えられた時の「ｙ＝ａｘ２－ｂｘ＋３ｃ」のグラフが書けますよね。

ａｘ２－ｂｘ＋３ｃ＝０の２つの解α，βがｙ＝０（ｘ軸）上の切片（交点）の値であることはご承知の事と思います。
s-wordさんがやろうとしたことは（3/2，0）と（11/2，0）の２点を通る無数の2次曲線の中から、たまたまａ，ｂ，ｃが１桁の自然数になる組合せを探そうとしたのです。とりあえず見つかるかもしれませんが（「不合理が出てきました」とあるから存在しないのでしょう？）質問中の問題の解（交点）の条件は「１＜α＜２，　５＜β＜６」ですので、答えはそれだけでは無いかもしれません。
（α，β）はそれぞれ有理数で無いかも知れないわけですから、適当な値を代入して全組合せを探すのはとても無謀（おそらく不可能？）な事なのです。
ご理解いただけますでしょうか？

この回答へのお礼

＞たまたまａ，ｂ，ｃが１桁の自然数になる組合せを探そうとしたのです。とりあえず見つかるかもしれませんが（「不合理が出てきました」とあるから存在しないのでしょう？）

すいません、もしやと思いもう一回計算をやってみると計算間違いであることが判明しました。やはり仰るように見つからなきゃおかしいですね。ごめんなさい。
数値を実際に代入する解法は解答に不備があることが理解できました。穴埋め問題にしか通じない解法ですね。ありがとうございました。

お礼日時：2001/10/05 00:42