全複素数平面で定義された正則関数

f (z) を全複素数平面で定義された正則関数とする。
i) f が一様連続なら、 f は一次関数。
ii) f ( f (z)) ≡ f (z) を満たす定数関数以外の関数 f は、 f (z) = z


とくためのヒントをください。

No.3 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2005/07/08 22:19

すみません，

> fが一様連続なことからf’が有界なことを言う
の所の証明をさぼっていました．これは簡単ではありませんね．
申し訳ありませんでした．証明は以下のようになります．

fが一様連続なことから
|y-z| < C ⇒ |f(y)-f(z)| < 1
を満たすCが存在します．
zを一つ固定してyに関する正則関数g(y)を
g(y) = f(z+Cy)-f(z)
とおきます．すると
|y| < 1 なら |g(y)| =<1
g(0) =0
ですから，Schwarzの定理より
|g’(0)| <= 1, つまり |f’(z)| <= 1/C
となります．これは任意のzに対して
成り立つので，f’は有界です．

この回答への補足

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz_lemmaにSchwarz_lemmaとしてでていました。これですべて理解できました。

補足日時：2005/07/12 18:18

この回答へのお礼

なるほどよくわかりました。解決しました。どうもありがとうございました。

しかし、下記のような発想はどうすればできるのでしょうか。とても自分にはかんがえられないのですが。
|y-z| < C ⇒ |f(y)-f(z)| < 1
を満たすCが存在します．
zを一つ固定してyに関する正則関数g(y)を
g(y) = f(z+Cy)-f(z)

お礼日時：2005/07/12 12:54

No.2 回答者： 31415926 回答日時： 2005/07/06 00:31

i) fが一様連続なことからf’が有界なことを言う．

するとf’は全平面上の有界正則関数なのでLiouvilleの定理より定数．
よってfは一次関数．
ii) f’(p)が0でないようなpをとり，pに収束する点列{p_n}を
とると，f(p_n)→f(p)であり，またnが充分大きければf(p_n)は
f(p)と一致しない．よって{f(p_n)}は集積点を持つ点列であり，また
f(f(p_n)) = f(p_n)が成り立つ．よって一致の定理よりf(z)=z.

これでどうでしょうか？

この回答への補足

fが一様連続なことからf’が有界なことを言う．これは、いえるのでしょうか。

補足日時：2005/07/08 18:46

No.1 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/07/05 20:58

何の定理か忘れてしまいましたが、ローラン展開から正則関数は、巾級数で表せると思います．つまり、巾級数に限定して、各設問を考えること

ができると思います