空間周波数特性について

特に、ローパスフィルタについての質問です。

No.1445303さんが『空間周波数について』質問されていて、その関数を利用させていただきます。

周期Lの周期関数

f(x）＝
1 (-L/4 < x ＜ L/4)
0 (-L/2 ＜ x ＜ -L/4 , L/4 < x < L/2）

において
f(x)を入力画像関数として空間周波数特性が

H(u) =
1 (u <= 20u_0)
0 (u >= 20u_0) (ただしu_0 = 1/L とする)
これを空間周波数特性Aとします。

H(u) =
1 (u <= 10u_0)
0 (u >= 10u_0) (ただしu_0 = 1/L とする)
これを空間周波数特性Bとします。

で表される画像装置を通った後の出力画像関数をg(x)とします。

このとき、空間周波数特性Aの方がより高い周波数の信号を通すために、
Bよりも入力画像f(x)に近い出力画像になると思うのですが、
ここで質問です。

(1)　f(x)をAのフィルタに通した後、
さらにBのフィルタに通した出力画像はどうなるのですか？

(2)　逆に、f(x)をBのフィルタに通した後、
さらにAのフィルタに通した出力画像はどうなるのですか？

(3)　最後に、f(x)をBのフィルタに通した後、
さらにBのフィルタに通した出力画像はどうなるのですか？　

ローパスフィルタは高周波を取り除くということなので、
(1)も(2)も(3)のどれもBのフィルタを1度だけ通したときと
同じ出力画像になるように思うのですが、実際にはどうなるのですか。

質問が長くなってしまい申し訳ありませんが、どうかよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： paddler 回答日時： 2005/07/17 14:55

(1) まず「フーリエ解析」のデータ列の点数は2のべき乗（・・・,32,64,128,256,・・・）でなくてはいけないので、ここでは例えばN=256にします。

エクセルのワークシートのA列に縦に、0,1,2,・・・,254,255と入力します。

(2) f(x)は例えばL=64として、B列に縦に上から、0を16個、1を32個、0を16個入力し、この64点を縦方向に3回繰り返しコピーします（これが256点の元画像！）。

(3) B列に作った元画像データを「フーリエ解析」。「入力範囲」に"B1からB256まで"を指定（$B$1:$B$256）し、出力先に"C1"を指定（$C$1）して実行。すると、C列に縦に元画像の空間周波数スペクトルができます。

(4) D列に空間周波数フィルタH(u)のデータを入力。u_0は周期Lの繰り返し信号の周波数なので、ここではL=64点であり、256点内で4回繰り返す周波数に相当するので"4"、特性Aでは"u_0*20"なので、D1からD81まで81個1を入力、それ以降は0を入力。そして256点のうち最後の80点、すなわちD177からD256には再び1を入力（何故こんなことをするかはカテゴリー「数学」の質問No.1517764を参照）。

(5) E列に、C列の元画像のスペクトルとD列のフィルタをかけ算した結果を作る。ただし、C列は複素数なのでかけ算には関数"IMPRODUCT(x,y)"を使用。例えば、セルE1には、"=IMPRODUCT(C1,D1)"と入力。

(6) E1からE256のデータ列を(3)同様の手順で「フーリエ解析」して結果をF列に作る。これが"画像装置出力後の画像"になります。

(7) ただし、(6)でできたF列のデータはやっぱり複素数なので、関数"IMABS(x)"を使って実数化したデータ列をG列に作る。例えば、セルG1には、"=IMABS(F1)/256"と入力（何故256で割るかについてはカテゴリー「数学」の質問No.1488438を参照）。

これで、A列とG列を選択して「散布図」グラフにすれば、結果の画像が視覚化できます。

あとは、

　(4)のフィルタデータを特性Aにしたときと特性Bにしたときの比較

　結果画像を再び入力元画像に与えて、特性A→特性Bの順に処理したときと特性B→特性Aの順に処理したときの比較

などをやればいいでしょう。細かいところで何度も引っかかるかも知れませんが、試行錯誤で自己解決に励みましょう！　また結果の見方についても自分で良く考えてみましょう！

この回答へのお礼

エクセルの使い方の説明ありがとうございます。
ようやく空間周波数の特性を理解することができました。本当に有難うございました。

お礼日時：2005/07/18 17:14

No.1 回答者： paddler 回答日時： 2005/07/17 07:06

元画像のフーリエ変換に画像装置の周波数特性をかけ算して、その結果をもう一度

逆フーリエ変換すると画像装置を通った後の画像になることはお分かりですよね？

こんな一次元画像の範囲であれば、Excelに入っている「フーリエ解析」を使えば
簡単にシミュレーションできますよ！

「Lやu」を具体的な数値にしてやってごらんなさい。人に聞くより１００倍良く理解
できること請け合いです！

"フーリエ解析"はメニューから、"ツール"－"分析ツール"－"フーリエ解析"に
あります。ただし予めExcelには、"アドイン"で"分析ツール"がインストールされて
いることが必要です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

Excelでフーリエ解析をしようと試みたのですが、
どのように数値を入力していいのかが分かりませんでした。
Excelのヘルプを見てもさっぱり分かりません。

この問題ではどのようにExcelを使用したらよろしいでしょうか？
重ね重ね申し訳ありませんが、ご教授ください。

お礼日時：2005/07/17 12:43