どの２つも互いに２以上離れている確率

１からｎまでの自然数が書かれた球の中から同時に３つのボールを取り出す。取り出したボールに書かれている自然数がどの２つも互いに２以上離れている確率を求めよ。

という問題です。
これは１からｎまで並んだ数列から３つの数を選び、そのどれもが２以上離れているというものですよね？
だからn_C_3=n(n-1)(n-2)/6とかを計算したのですが、答えまで至りません。どなたか、回答までの手順を教えてくださいませ。

No.4 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2005/08/31 16:11

サイコロを10回振って少なくても1度以上1が出る確率の求め方はご存知ですよね。

一度も1が出ない確率を求めて1から引きますよね。もちろん、1回、2回・・・10回
1が出る確率を足してもいいんですが引く方が簡単なんで普通そうして求めます。

1-(5/6)^10

この問題も同じく反対事象である(2個が続いている確率+3個が続いている確率）を
引けばいいんですよ。後はその数え方ですね。
数字の出方の総数は質問者さんが出したやり方でいいです。
C[n,3]=n(n-1)(n-2)/6ですね。
では3個並んでいるのは何通りあるでしょう。
[1,2,3],[2,3,4]・・・[(n-2),(n-1),n]までですから(n-2)通りあるのは明らかですね。

では2個続いていて後一個は離れているのは何通りあるでしょうか。
場合分けします。残り一個が連続する2つより大きい場合
[1,2]の時、4からnまで可能(n-3)通りですね。
[2,3]の時、5からnまで可能(n-4)通り
・
・
[(n-3),(n-2)]の時nだけの1通り

1+2+・・・・+(n-3)=(n-2)(n-3)/2

残り一個が連続する2つより小さい場合
[3,4]の時、1の1通り
・
・
・
[(n-1),n]の時、1から(n-3)の(n-3)通り
同じように勘定する事ができますね。
2個続いていて後一個は離れているのは
(n-2)(n-3)通りあります。
ということで題意から外れるのは
(n-2)+(n-2)(n-3)=(n-2)^2通りあります。

1-(n-2)^2/{n(n-1)(n-2)/6}={n(n-1)-6(n-2)}/n(n-1)
=(n^2-7n+12)/n(n-1) または(n-3)(n-4)/n(n-1)
となりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
確率は高校数学の中で一番苦手なので、早く手を打とうと思っています。

お礼日時：2005/08/31 17:06

No.5 回答者： sinn_o 回答日時： 2005/08/31 16:19

３つのボールがどの２つも互いに２以上離れている組み合わせの数ですが、下のような考え方はどうでしょう。

(1)３つのボールが２以上離れているなら、
１２３４５６７８９
○●○○●○●○○
（●が選ばれた３つのボール）

(2)３つの●（選ばれたボール）の中の真ん中のボール（上の例だと５のボール）の横は必ず○（選ばれてないボール）なので、取り除いてみます。
○●○◎●◎●○○
（◎が取り除くボール）
↓
○●○●●○○

(3)取り除いた後のボールの並び方は、どんな並び方でも可ですよね。
○○●●●○○とか、
○○●○●○●とか、
なんでもよいです。 どの組み合わせでも、(1)に戻してやれば、互いに２以上離れた、別々の組み合わせになりそうです。

つまり、互いに２以上離れている組み合わせの数 ＝ 全体を２個減らしてやって３つ選ぶ組み合わせの全数っていえるんじゃないでしょか。

あとは質問者さんの書かれてるのと考え合わせて・・・答えは＃３さんの、てのでどうでしょ。

No.3 回答者： postro 回答日時： 2005/08/31 14:48

答えは

(n-3)(n-4)/n(n-1)
であってますか？
とてもやっかいなぐちゃぐちゃした方法でやったので
仮に答えがこれであっているとしても説明できません。
おっと、これじゃあ何の役にも立たないですね。すんません。

No.2 回答者： redowl 回答日時： 2005/08/31 13:25

n＝７の場合で考察

◯◯◯◯◯◯◯

●●●◯◯◯◯
◯●●●◯◯◯
◯◯●●●◯◯　　の様に、３個連続になる場合が　（n-2)　通り・・・・（１）
◯◯◯●●●◯
◯◯◯◯●●●

●●◯●◯◯◯
●●◯◯●◯◯　　
●●◯◯◯●◯　　の様に、２個連続と１個の場合　(n-4)(n-1)+2　通り・・・・（２）
●●◯◯◯◯●
◯●●◯●◯◯　　７個の場合だと　４、３、３、３、３、４
　中略　　　　　　６個の場合だと　３、２、２、２、３
◯◯◯●◯●●　　５個の場合だと　２、１、１、２

（１）と（２）の和・・・・(n-2)^2　通り
あとは、自己の力で解決・・・・・・

No.1 回答者： koganeton 回答日時： 2005/08/31 13:07

反対に2つが2以下になる確立を求めて

全体から引けば出ます