a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

質問

a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

役に立った：1件

質問者：hozumi_
投稿日時：2005/10/26 14:48
困り度：

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

この質問への回答は締め切られました。

＞a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
　　　a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね？そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

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この回答へのお礼

有り難うございます。
お陰さまで助かりました。

No.2

回答者：debut
回答日時：2005/10/28 05:51

＞所で
＞(iv)
＞a^(-1/2)=b
＞a+b=12
＞の時は

これは考えなくてもいいのです。
ご自分で求められた　a+b=24log[a]b　の式をみてください。
a+b>0 だから、当然、log[a]b>0 ですよね。だから、b=a^(-1/2)はないのです。
つまり、log[a]b=±1/2ではなかった、1/2だけだったというわけです。

結局、a^(1/2)=b を最初の式　a+b=24log[a]b に戻して入れるだけで解けた
のですね。

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この回答への補足

お手数お掛けしてましてすいません。

> a+b>0 だから、当然、log[a]b>0 ですよね。
これはどうしてなんですか?
a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

質問者のみ：
この回答にお礼をつける

No.1ベストアンサー10pt

回答者：proto
回答日時：2005/10/26 15:14

式変形の途中で二つあった式が一つになっています
未知数が二つある場合には、２つ以上の式が連立していなければ値は定まりません

与えられた２式の両辺をそれぞれ自然対数をとって
　　(a+b)*log(a) = 24*log(b)　…(1)
　　6*log(a) = (a+b)*log(b)　…(2)
(1)の両辺を、(2)の両辺でそれぞれ割って
　　(a+b)/6 = 24/(a+b)
　　(a+b)^2 = 12^2
　　a+b = ±12

この式とあなたの導いた式を再び連立させることで
a,bの値を求めることが出来ます

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この回答への補足

ご回答大変有り難うございます。

> 式変形の途中で二つあった式が一つになっています
：
> 　　(a+b)^2 = 12^2
> 　　a+b = ±12
> この式とあなたの導いた式を再び連立させることで
> a,bの値を求めることが出来ます
(i)
a^(±1/2)=b
a+b = ±12
に於いて
a^(1/2)=b
a+b = 12
の時はa=9,b=3。

(ii)
a^(1/2)=b
a+b = -12
や
(iii)
a^(-1/2)=b
a+b=-12
の時はa,b>0よりこの方程式は意味をなさない。

所で
(iv)
a^(-1/2)=b
a+b=12
の時は
1/b^2+b-12=0で
b^3-12b^2+1=0
となり、、、、?
で行きづまってしまいます。
f(b)=b^3-12b^2+1
とするとこの曲線は右上がりで
f'(b)=3b^2-24bとすると
b=0,8で極小値、極大値を夫々持ち、
f(8)<0となってbは正数値を持つ事が伺えます。
(iv)
の場合の連立方程式はどうやって解けばいいのでしょうか?