ln(-x)はlnxに変形できないですか。

こんにちは。lnxでくくりたいのですが、ln(-x)は何とか変形してlnxのつく形に変形できないでしょうか。ln(-x)と-lnxは違いますよね？

No.1 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/06 16:37

＞ln(-x)は何とか変形してlnxのつく形に変形できないでしょうか。

ln関数を実数の範囲で考えるなら変形できません。
実数関数の範囲では
ln(-x)で定義されるのは
真数が正の場合のみです。
すなわち
-x＞0つまりx＜0の場合だけです。

このときln(x)は定義されません。

複素関数としてのln(x)の場合がxも複素数の範囲で扱います。
-x=|x|e^(+iπ)とおけば
x=|x|e^(iθ)
ln(x)=ln|x|+ i(θ±2nπ),ただしn=0,1,2,...
ln(-x)=ln|x| + i(θ+π±2nπ),ただしn=0,1,2,...
=ln(x)+iπ
となります。

＞ln(-x)と-ln(x)は違いますよね？

全く別物です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。納得できました。

お礼日時：2005/11/06 16:55

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2005/11/06 16:46

高校数学の知識だけでやってみると、

ln(-x)
= ln{ (-1)(x) }
= {lnx} + {ln(-1)}　（　∵ln(αβ) = (lnα) + (lnβ)　）
となりますが、ln(-1)が存在しないので
ln(-x)を変形してlnxのつく形には変形できません。

ただ
ln(-1) = a
とおくと、この式は
『eのa乗は-1』という事を表しています。
そうすると
e^a = -1　（e^aはeのa乗）
ここで
e^(iπ) = -1
なのでaはiπとなります。よって
ln(-x)
= {lnx} + iπ
と変形できるかもしれません。

なんでe^(iπ)が-1になるのかということですが、
これは
e^iθ = cosθ + isinθ
と変形でき、θにπを代入すると、ちょうど-1になってくれるんです。
それではなぜe^iθ = cosθ + isinθとなるのか？
すみませんが、私はうまく説明できません。
『オイラーの公式』というらしいので、このワードで検索すれば
何か見つかるかもしれません。

この回答へのお礼

すごく丁寧に回答してくださってありがとうございます。

お礼日時：2005/11/06 16:55