波の方程式

初歩的な質問です。Ｘ方向に進む波を　U=Csin(wt－kx）であらわすとき
Z軸方向に進む式はどのように表されるのでしょうか？考え方もあわせてお願い致します。

No.1 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/10 18:00

Ｘ方向に進む波を　U=Csin(wt－kx）

波源が点ならどちらの方向にも同じ波が伝播しますので
x方向とおなじ大きさで座標軸だけをz軸に変えれた
U=Csin(wt－kz）
となります。

波源から十分離れた場所をx方向に進行する波（横波）だけであればz軸方向に進む成分はないですね。
勿論、同じ波源から出た波でz軸方向に進行して波源から十分遠く離れたところではz成分だけの横波
U=Csin(wt－kz）になりx成分の波はないですね。

波を観測する点（x,y,z）の波源（原点）との位置関係で決まることですね。
十分原点から離れたx軸上の波を考えるか、z軸上の波を考えるかで、x成分だけになったり、y成分だけになったりします。x,y,z軸上でない点の場合は各方向に進行する波の成分が存在します。

この回答への補足

Y方向に進む波の場合は　U=Ccos(wt-ky) となるのですがこれはどのように解釈すればよいのでしょうか？よろしくお願いします。

補足日時：2005/11/10 18:25

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2005/11/10 18:18

単一正弦波以外も考えた場合には

一般の平面波はｆ，ｇを任意の実数値関数として

Ｕ＝ｆ（ｚ－ｖ・ｔ）＋ｇ（ｚ＋ｖ・ｔ）

です
これはすべての周波数成分を持っているものも表現します

No.3 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/10 20:42

#1です。

＞Y方向に進む波の場合は　U=Ccos(wt-ky) となるのですがこれはどのように解釈すればよいのでしょうか？よろしくお願いします。

波源との関係で考えてください。
波形は位置座標(x,y,z)を固定して考えてください。
U=Ccos(wt-ky)
cos(wt-ky)となるかsin(wt-ky)となるかは波源の位置と時間軸の原点と波源での波形によって決まります。

波動方程式の解として
の解はA#2さんもおっしゃっているように
任意のy軸方向に進む平面波（横波）の場合の波動方程式の一般解は

U(y,t)=f(y-vt)+g(y+vt)

となります。f(y-vt)はy軸の正の方向に速度vで進行する波、g(y+vt)はy軸の負の方向に速度vで進行する波になります。
波源から出た波が放射状に速度vで伝播していく場合は最初は反射波がありませんのでg(y+vt)の項は存在しません。位置(0,y,0)、時間tの波の関数がU(y,t)=f(y-vt)ということです。
波源の波の波形はU(0,t)=f(-vt)ということですね。

Ucos(wt-ky)は位置(0,y,0)の点の時間波形ですね。
波源の波の時間波形はy=0とおいた
Ucos(wt)ということになります。

この波Ucos(wt-ky)の波形は「wt-ky=a(一定)」の位置のとことでは同じ位相の波形になります。
つまり同じ位相のところが
wt-ky=a
y=(w/k)t-(a/k)=vt-b
(bは定数)
から、時間とともに波の波形が速度v=w/kでy座標の正の方向に移動（進行、伝播）して行くことが分かります。
つまり、y座標が単位時間当たりv=w/kの割合で増加していくわけですね。

つまり波源の波形U=Ccos(wt)が速度v=w/kでy軸の正の方向に伝播して行くわけですね。

この回答へのお礼

たびたびのご解答ありがとうございます。波源の位置と時間軸の原点と波源での波形によって決まるんですね。宿題の設問だったのですがＹ方向の波をあらわすのに適切な関数を選べというものでした選択肢に　cos(wt-ky)とsin(wt+ky)　両方あったのですがsin(wt+ky)は不正解でした。負の方向の波ではないのでしょうか？

お礼日時：2005/11/11 12:54

No.4 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/11 21:31

波源の位置と時間軸の原点と波源での波形によって決まるんですね。

宿題の設問だったのですがＹ方向の波をあらわすのに適切な関数を選べというものでした選択肢に　cos(wt-ky)とsin(wt+ky)　両方あったのですがsin(wt+ky)は不正解でした。負の方向の波ではないのでしょうか？

波の進行方向を一方向に限定（X軸方向）した場合、

たとえば断面が中空の矩形（上側の蓋はなくても良い）の無限に長い溝の中を伝わる水の波のような場合
や
無限に長い同軸ケーブルの中を伝播する孤立波のような場合

などは
波源を中心（原点に取る）から出る波として
X＞0の溝には
正の方向に進行する波(たとえばsin(wt-kx)やcos(wt-kx))
が存在し
X＜0の溝には
X軸の負の方向に進む波（たとえばsin(wt+kx)やcos(wt+kx）が存在します。

sinかcosかは波源の波形と時間tの基準の取り方で決まります。後ろの括弧内の引数の形の中の±が進行方向を決めます。

無限に長い場合溝の両端からの波の反射は無いと考えられますので
X＞0の側では(wt-kx)といった引数の波形だけになります。
逆に
X＜0の側では(wt+kx)といった引数の波形だけになります。

有限長の溝の場合で溝の端からの波の反射が存在する場合は
反射波が存在しますので
X＞0の側でも
(wt-kx)といった引数のX軸の正の方向に進む進行波
と
(wt+kx)といった引数のX軸の負の方向に進む反射波
の両方が存在することになり。
勿論、反射する位置や反射の割合（反射係数）により
反射波の波形は、形状の振幅減衰や位相関係が進行波とずれがおきます（波形は同一ではない）。

またX軸の負の領域でも
(wt+kx)の引数を持ったX負の負の方向に進む進行波と
(wt-kx)の引数を持ったX軸の正の方向に進む反射波
が存在します。

このように溝や同軸ケーブルが無限に長い場合や溝や同軸の端で反射が起きない仕掛けをつくることを行えば反射は存在しなくなります。
（水の場合は綿や藻のようなものを端に置いたり、端にゆるい傾斜の砂場を作ります。同軸ケーブルの場合は同軸ケーブルの端で同軸ケーブルと同じ特性インピーダンスを接続してインピーダンスの整合を取ります。）

逆に溝の端を垂直な硬い壁で止めた場合はもろに反射波が生じ逆方向に進む波が存在するようになります。
同軸ケーブルの場合は先端を開放または短絡しておけばもろに反射波が生じ逆方向に進む波が存在するようになります。

＞負の方向の波ではないのでしょうか？

上で説明したように、波の存在する空間に波の反射を起こすような境界が存在する場合は進行波と逆方向に進む波も存在します。
波の反射を引き起こす境界が存在しなければ逆方向に進む波は存在しませんね。

負の方向に進む波の有無は、波の伝播する空間に波の反射を起こす境界が存在するか、どうかで決まります。

波動方程式や進行波理論では端の境界条件の与え方で、波源からの進行波に対して逆方向に進む反射波の有無や反射波の形状（振幅）や位相遅れ（時間遅延）などが決まりますね。

この回答へのお礼

本当に細かく親切な解説ありがとうございます。

お礼日時：2005/11/14 12:41

No.5 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2005/11/11 22:18

おそらく、その問題はこれが全てではなく何か前提条件があるはずです。

それを書かないと有効な回答は得られません。

なんの前提もないのであれば、cos(wt-ky)もsin(wt+ky)も正解です。

他に考えられることは、『Y方向に進む』が暗黙のうちに“Y軸の正方向に進む”を意味している場合。このとき、sin(wt+ky)はY軸の負方向に進む波ですので不正解になります。
ひょっとすると設問には明記されてなくても、授業中にそのように説明されていたりはしませんか？

この回答への補足

前提条件なしの単独の設問だったのですが宿題がＹ方向、cos（wt-kx)で正解で本試験がZ方向を表すものはというものでした。本試験の選択肢は何が正解だったのか知りたくてこちらに投稿しました。私が考えすぎているだけのような気がしてきました。

補足日時：2005/11/14 08:18