1未満と1以下の違い

言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

No.1 回答者： doyanen 回答日時： 2002/01/14 00:26

私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。

1とは自然数ですが、１／３というのは分数で自然数ではありません。

ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。
分数は0.333…という状態を便宜的に表すために（言葉の表現が正しくないかも知れませんが）１／３という記号を使用している、と考えればよいのではないでしょうか。

分数と自然数を混同するとこのような（いい意味で）面白い錯覚に陥るのではないでしょうか。

No.2 回答者： on-drug 回答日時： 2002/01/14 00:32

100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。

「１未満」の最大値0.9999…を３で割った0.3333…は３をかけても１にならない数字なのです（「１になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう）。ですから、１未満と１以下は違います。

No.3 回答者： annie_x 回答日時： 2002/01/14 00:40

> 0.333....となり、これは1/3です。

これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。
すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。


「1未満」の最大値は、「1-x」です。
* x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。

これを 3 でわると、次のようになります。
「1/3-x/3」

x は 0 ではないので「1/3-x/3」はどうやっても 1/3より小さい値になります。

これに再び 3 をかけると、次のようになります。
「1-x」

もとにもどりましたね。これは 1 ではありません。

No.4 回答者： machie 回答日時： 2002/01/14 00:41

よく聞きますよね、その話。

中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。
近似値か何かの時に出てきたかなぁ。
でもごめんなさい、結論は0.333333...×３＝１だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。
奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。

No.5 回答者： uc078 回答日時： 2002/01/14 00:44

１　÷　３　×　３　＝１（以下）

０．９９～　÷　３　×　３　＝０．９９～（未満）

のように、未満はあくまで未満であって、１にはならないと思います。

でも、大抵の普通の電卓で　１÷３×３　をやると　0.999～になり
微妙な差がでてきます。

数値に表れない数学とでも言うのでしょうか？(^^;

No.6 回答者： TrickOrTreat 回答日時： 2002/01/14 00:50

この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり

0.999... = 1

で 0.999.... = 1 が成り立てば１より小さな数は 0.999.... ではないこと
になり、１未満 = １以下は成り立たないですよね。
0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=168199

この回答へのお礼

なるほど、同じような内容の質問が結構あるものですね。参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2002/01/14 02:29

No.7 回答者： freeman108 回答日時： 2002/01/14 00:56

考え方としてわからなくもありませんが、

１　÷　３　＝　０．３３３３３３......であって、
１　／　３　＝　０．３３３３３３......とは思っていません。
表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、
０．３３３３３３......　×　３　＝　０．９９９９９９......
になると思ってます。

No.8 回答者： freeman108 回答日時： 2002/01/14 00:59

１　／　３　と書きましたが、１／３(三分の一)の間違いです。

No.9 回答者： noname#5113 回答日時： 2002/01/14 01:11

0.999…は1未満ではありません。

1です。
実数をA、Bの組に分けたとしてAを1未満の組、Bをそれ以外の組に分けます。
すると0.999…はBの組に存在するのです。それを以下のように証明します。

Bには最小値「1」が存在しますね。その場合、Aには最大値が存在してはいけません。実数をそう定義したからです。ところが、0.999…がAに属すると仮定すると、100Goldさんがおっしゃられるように0.999…はAの最大値ですね。これは実数の定義に反します。よって0.999…はBに属します。よって、0.999… = 1です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ここら辺の実数の定義ってなんか不思議じゃないですか？
同じ値をもつ実数が無数に存在しているってことになりますよね。

お礼日時：2002/01/14 14:55

No.10 ベストアンサー 回答者： redbean 回答日時： 2002/01/14 01:31

１未満の実数には最大値は存在しません。

ａ＜ｂなる２つの実数があるとき、ａ＜ｘ＜ｂなる
実数ｘが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である
ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と
いいますが、これから１未満の実数に最大値が存在
できないことは明らかと思います。

つまり、 0.999… = 1 ということです。
ですから未満と以下は同じ意味ではありません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。
量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。
x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。
無限というのは本当に厄介ですね。

お礼日時：2002/01/14 15:31