AD//BCである台形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点Pとする。また、点Pを通り、辺BCに平行な直線lを引き、辺AB、CDとの交点をそれぞれE,Fとする。
このとき、(1/AD)+(1/BC)=(2/EF)を証明する問題で。
A-----------D
/ \
/ \
/ \
/ \
B-------------------------C
どのように考えるか分からないのでこの書き込みは消されてしまうかもしれませんが、よろしくお願いします。
この問題をまず解くには
・AE:EB=AD:BC
・DF:FC=AD:BC
を考えるそうですがこの比の作り方(考え方がよくわかりません。)
まとめると、
Pはこの図の中心点。
点Pを通るよく線はl
ABとDCで交わった直線lをE,Fと置く。
No.1
- 回答日時:
とりあえず、間違いを指摘します。
点Pは図形の中心点ではありません。
この問題は、平行線の性質と相似図形の問題となります。
三角形APD∽三角形CPBになるので(←ちゃんと証明しないと、おそらく正解とはされないでしょう。(錯角を考えれば))、また、他に出来る三角形についても相似関係になっているものがありますので、それらの相似による比を使っていけば、後は計算していくだけです。(相似の証明は、全て平行線の性質から求められます。)
No.2
- 回答日時:
△APD∽△CPB …(1)
△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)
なのはわかります?
(1)の相似比をADとBCを使って表せます?
それを使って、(2)とか(3)の相似比を表せます?
これができれば、ご質問の
・AE:EB=AD:BC
・DF:FC=AD:BC
は出てくると思います。
この回答への補足
△APD∽△CPB …(1)
△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)
は、なんとなく分かります。
△APD∽△CPB …(1)
はAD//BDより
対頂角と錯覚が等しいから
△APD∽△CPB
△BAD∽△BEP …(2)
EP//AD
∠Bは共通
∠BEP=∠BAd
より
△BAD∽△BEP
で合ってますか?
No.3
- 回答日時:
まず,証明したい式を,同値な式に変形していって,証明しやすい式にします。
1/AD + 1/BC = 2/EF
⇔ EF/AD + EF/BC = 2
⇔ (EP+PF)/AD + (EP+PF)/BC = 2
⇔ EP/AD + PF/AD + EP/BC + PF/BC = 2
この式を念頭において,図を眺めると
EP:AD = BP:BD
PF:AD = CP:CA = PC:AC
EP:BC = AP:AC
PF:BC = DP:DB = PD:BD
の関係に気づくでしょう。
ゆえに
EP/AD + PF/AD + EP/BC + PF/BC
= BP/BD + PC/AC + AP/AC + PD/BD
= (BP+PD)/BD + (AP+PC)/AC
= BD/BD + AC/AC
= 2
証明終わり
となります。
この回答への補足
ありがとうございます。
EP:AD = BP:BD
PF:AD = CP:CA = PC:AC
EP:BC = AP:AC
PF:BC = DP:DB = PD:BD
この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか?
台形の比として。
No.5
- 回答日時:
> EP:AD = BP:BD
> この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか?
> 台形の比として。
台形というより,平行線の性質として,次のことが成り立ちます。
三角形BAD,BA上の点E,BD上の点P のとき
EP // AD ⇔ BE:BA = BP:PD
EP // AD ⇒ EP:AD = BP:PD
証明は,△BEP と △BAD が相似になることを仲介してできます。
ところで,証明とは何でしょう。
自分が納得する,あるいは他人を納得させる,ためにすることです。
ですから,納得できないことを憶えて使っても証明とはいえません。
逆に,すでに自分が納得していることはいくらでも使って構いません。
No.6
- 回答日時:
#2の補足に回答します。
相似の証明はあなたの方法で合ってます。
これら3つの相似比を求めることができたら、
ご質問にある、
・AE:EB=AD:BC
・DF:FC=AD:BC
にもたどりつけるし、#3の補足であなたが「暗記しても大丈夫ですか?」といっている比率にもたどりつけます。チャレンジしてみませんか?
他人が教えてくれた比率を丸暗記なんかしても、ちょっと変わった問題になったらきっと対応できません。相似を使って自分で導き出せたら、導き出し方は自然と頭の中に残ると思いますよ。
この回答への補足
>
△APD∽△CPB …(1)
△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)
なのはわかります?
(1)の相似比をADとBCを使って表せます?
それを使って、(2)とか(3)の相似比を表せます?
これができれば、ご質問の
・AE:EB=AD:BC
・DF:FC=AD:BC
は出てくると思います。
についてですが。
△APD∽△CPB …(1)
について比を考えると
AD:BC=DP:BP=AP:CP
△BAD∽△BEP …(2)
について比を考えると
AD:EP=BD:BP=AB:BE
△CAD∽△CPF …(3)
について比を考えると
AD:PF=AC:PC=CD:CF
から
・AE:EB=AD:BC
・DF:FC=AD:BC
に近づけれるかわかりません。
No.7
- 回答日時:
>例えば
>EP:AD = BP:BD
>ではなく、EP:AD=DP:BD
>とおいてもいいのですか?
これは一般的にはBP≠DPなので明らかにダメですね。
(唯一PがBDの中点のときはたまたま成り立ちますが。)
> EP:AD = BP:BD
> PF:AD = CP:CA = PC:AC
> EP:BC = AP:AC
> PF:BC = DP:DB = PD:BD
>この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか?
>台形の比として。
これは「台形の比として」覚えては絶対ダメです。
覚えていいとしたら、
△ABCにおいて、BCに平行な直線でAB、ACに交わる点をそれぞれD、Eと置いたときに
△ABC∽△ADEが成り立つので
AB:AD=AC:AE=BC:DEが成り立つ
・・・(1)
という部分までです。
この問題で考えると、台形の△ABDと線分EPだけ赤線で上からなぞるなどしてみてください。そうしたときに赤線の部分だけ見ると上で書かれている
「△ABCにおいて、BCに平行な直線でAB、ACに交わる点をそれぞれD、Eと置いたときに
△ABC∽△ADEが成り立つので
AB:AD=AC:AE=BC:DEが成り立つ」
の部分と全く同じ形をしていませんか??
つまり、対応する点を置き換えると
「△BADにおいて、ADに平行な直線でBA、BDに交わる点をそれぞれE、Pと置いたときに
△BAD∽△BEPが成り立つので
BA:BE=AD:EP=BD:BPが成り立つ」
ことが言えるのです。
同様に
> PF:AD = CP:CA = PC:AC
> EP:BC = AP:AC
> PF:BC = DP:DB = PD:BD
についても
それぞれ
△CADと線分PF
△ABCと線分EP
△DBCと線分PF
を青線や緑の線でそれぞれ抜き出すと同じ形をしていることがわかると思います。つまり、いちいち全部覚えなくても上に書かれている(1)の部分さえ知っていれば後はその図形があることがわかれば導き出せてしまうわけです。
図形の問題で重要なのはこのような「自分の知っている形をいかにして見つけ出せるか」です。これは問題をたくさん解いて身に着けるしかないでしょう。
No.8
- 回答日時:
#6の補足へ回答します。
これでわかってもらえるかどうかわかりませんが、書いてみますね。
AB:EB=DB:PB ((2)の相似比より)
=(DP+PB):PB
=AD+BC:BC ((1)の相似比より)
したがって、
AE:EB=AB-EB:EB
=((AD+BC)-BC):BC (上の関係より)
=AD:BC
DF:FC もまったく同様です。
いかがでしょう?
AB:EB=DB:PB ((2)の相似比より)
=(DP+PB):PB
までやっと理解できました。
AB:EB=DB:PB ((2)の相似比より)
(DP+PB):PB
になることがよくわかりません
AD:BC=DP:BP:AP:CP
(DP+PB)は△ADBの比
AD+BCは AD//BC
せっかく、回答していただいたのに本当にごめんなさい。
あまりの馬鹿さに自分の頭を叩いてしまいます。
No.9
- 回答日時:
>・AE:EB=AD:BC
>・DF:FC=AD:BC
>に近づけれるかわかりません。
先ほどの
△ABCにおいて、BCに平行な直線でAB、ACに交わる点をそれぞれD、Eと置いたときに
△ABC∽△ADEが成り立つので
AB:AD=AC:AE=BC:DEが成り立つ
・・・(1)
の続きです。
この中の特に
AB:AD=AC:AE
だけに着目します。
DB=AB-AD=AB-(AB×AE)/AC
=AB/AC×(AC-AE)=AB/AC×EC
∴AD:DB=AE:EC
つまり、
△ABCにおいて、BCに平行な直線でAB、ACに交わる点をそれぞれD、Eと置いたとき、
AD:DB=AE:EC
が成り立つ・・(2)
がいえます。この(2)は先ほどの(1)と違って三角形の相似だけでなく多少の計算が必要になる(なりましたよね?)ので覚えておいても損はないでしょう!
この(2)を使うと、先ほど赤線で書いた△ABCと線分EPにおいて
AE:EB=AP:PC が成り立つことがわかりますよね?
そういえば「AP:PC」ってどこかで見ませんでしたか??
No.10
- 回答日時:
なんでも「わからない」と書くのはやめましょう。
あなたは本当に真剣に考えていますか?
>AB:EB=DB:PB
>から (DP+PB):PBになることがわかりません。
「DB:PB」と「(DP+PB):PB」を見比べましょう。
この2つの式で同じ部分はどこですか?
違う部分はどこですか?
ちょっと考えたら「PB」という部分が同じ
「DB」と「(DP+PB)」の部分が違うことがわかるはずです。
つまり「DB」を「DP+PB」と置き換えたってことですよね?
>DB=AB-AD
>から
>AB-(AB×AE)/AC
>になることがわかりません。
これも全く同様です。
「AB-AD」と「AB-(AB×AE)/AC」の2つの式で同じ部分はどこですか?
違う部分はどこですか?
「AB-」の部分までが同じで
「AD」と「(AB×AE)/AC」までの部分が違うことがわかりませんか?
つまり「AD」を「(AB×AE)/AC」と置き換えたということがわからないですか?
せめて同じ部分と違う部分を見比べた後、違う部分だけを示して「ここがわからない」というのならまだ話はわかります。
しかし、数式変換において全く同じ部分まで「わからない」といわれては「四則計算をもっと勉強してください」としか言いようがありません。
この回答への補足
本当にごめんなさい。
何回も読んだのですが本当に理解が出来なくて本当にごめんなさい。
AB:AD=AC:AE
だけに着目します。
DB=AB-AD
ここまでは分かりました。
AB-(AB×AE)/AC
これは「AD」と「(AB×AE)/AC」が違うということは分かったのですがどうして分数や掛け算がでて混乱してしまいました。
AD:DB=AE:AC~DE:BCをどのように利用をするのか
本当にごめんなさい
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 中学校受験 <平行四辺形>右の図で,へABCのCAの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また,点Dを通り辺ABに 1 2023/03/09 20:43
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 数学に詳しい方、教えて下さい! 写真の三角形ABCの辺AB、AC上に、それぞれ 点D、Eがある時、D 3 2022/05/07 21:51
- 数学 角が同じならsinは同じになるのでしょうか 1 2022/09/06 00:12
- 大学・短大 三角形ABCにおいてBCの中点をM、AB>=ACとする。この時AからBCに下ろした垂線とBCとの交点 1 2023/05/10 20:20
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 数学の問題の解き方を教えて下さい。 ∠Aが直角の直角三角形ABCで、∠Bの二等分線と辺ACとの交点を 7 2022/05/06 21:52
- 数学 複素数の問題です。ご教授お願い致します。 3点が与えられており、それぞれ、 A=2 B=-1-i C 2 2023/07/11 21:59
- 数学 数学の質問です。 △ABCにおいて, ∠Aの二等分線が BC と交わる点をRとする。 辺BC, CA 2 2023/07/13 23:58
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
メール文章で直線の描き方について
-
PowerPoint 罫線で直線を引く...
-
円x²+y²=1と直線y=x+mが接する...
-
円に直線を引いて、円の内部の...
-
直線の傾き「m」の語源
-
(問題) xy平面上において,連立...
-
曲面(楕円)と直線との点の最...
-
方向微分係数
-
円
-
直線を含む平面
-
エクセル・パワーポイントなど...
-
general formとstandard formの...
-
領域の個数と漸化式
-
円を直線で分割すると・・・?
-
いびつな図形の重心の求め方を...
-
次の2直線のなす鋭角θをもとめ...
-
グランドにきれいな長方形を描...
-
軌跡と領域 円に接するときに...
-
excelで、曲線の長さを計測する...
-
直線に対する対称点の求め方
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
メール文章で直線の描き方について
-
PowerPoint 罫線で直線を引く...
-
電気ハンドホールの設置間隔の...
-
円x²+y²=1と直線y=x+mが接する...
-
円を直線で分割すると・・・?
-
直線を含む平面
-
組み合わせの問題
-
座標計算でのTan(θ)-1/Cos(θ)に...
-
不等号をはじめて習うのは?
-
エクセル・パワーポイントなど...
-
グランドにきれいな長方形を描...
-
実数x,yはx^2+y^2=4を満たすと...
-
下の画像の問題(7)なのですが、...
-
直線の傾き「m」の語源
-
120分の番組を1.5倍速で見ると8...
-
なまし鉄線(番線)をまっすぐ...
-
このSを正射影した面積がScosθ...
-
general formとstandard formの...
-
作図の問題です
-
wordの図形の描き方について
おすすめ情報