証明

AD//BCである台形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点Pとする。また、点Pを通り、辺BCに平行な直線lを引き、辺AB、CDとの交点をそれぞれE,Fとする。
このとき、(1/AD)＋(1/BC)＝(2/EF)を証明する問題で。

　　　　　　　A-----------D
／ ＼
　　　 ／　　　　　　　　 ＼
／　　　　　　　　　　　＼　　
　　　／　　　　　　　　　　　＼　
　　　B-------------------------C

どのように考えるか分からないのでこの書き込みは消されてしまうかもしれませんが、よろしくお願いします。
この問題をまず解くには
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
を考えるそうですがこの比の作り方（考え方がよくわかりません。）
まとめると、
Pはこの図の中心点。
点Pを通るよく線はl
ABとDCで交わった直線lをE,Fと置く。

No.8 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/28 23:38

#6の補足へ回答します。

これでわかってもらえるかどうかわかりませんが、書いてみますね。

AB:EB=DB:PB　　　　　((2)の相似比より)
=(DP+PB):PB
=AD+BC:BC　　　　((1)の相似比より)
したがって、
AE:EB=AB-EB:EB
=((AD+BC)-BC):BC　(上の関係より)
=AD:BC

DF:FC もまったく同様です。

いかがでしょう?

この回答への補足

AB:EB=DB:PB
から　(DP+PB):PBになることがわかりません。

補足日時：2006/03/29 11:10

この回答へのお礼

AB:EB=DB:PB　　　　　((2)の相似比より)
=(DP+PB):PB
までやっと理解できました。
AB:EB=DB:PB　　　　　((2)の相似比より)
(DP+PB):PB
になることがよくわかりません

AD:BC=DP:BP:AP:CP


(DP+PB)は△ADBの比
AD＋BCは AD//BC

せっかく、回答していただいたのに本当にごめんなさい。
あまりの馬鹿さに自分の頭を叩いてしまいます。

お礼日時：2006/03/29 22:16

No.7 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/28 22:49

＞例えば

＞EP:AD = BP:BD
＞ではなく、EP:AD=DP:BD
＞とおいてもいいのですか？
これは一般的にはBP≠DPなので明らかにダメですね。
（唯一PがBDの中点のときはたまたま成り立ちますが。）


>　EP:AD = BP:BD
>　PF:AD = CP:CA = PC:AC
>　EP:BC = AP:AC
>　PF:BC = DP:DB = PD:BD
>この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか？
>台形の比として。
これは「台形の比として」覚えては絶対ダメです。
覚えていいとしたら、

△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ
・・・(1)
という部分までです。

この問題で考えると、台形の△ＡＢＤと線分ＥＰだけ赤線で上からなぞるなどしてみてください。そうしたときに赤線の部分だけ見ると上で書かれている
「△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ」
の部分と全く同じ形をしていませんか？？

つまり、対応する点を置き換えると
「△ＢＡＤにおいて、ＡＤに平行な直線でＢＡ、ＢＤに交わる点をそれぞれＥ、Ｐと置いたときに
△ＢＡＤ∽△ＢＥＰが成り立つので
ＢＡ：ＢＥ＝ＡＤ：ＥＰ＝ＢＤ：ＢＰが成り立つ」
ことが言えるのです。

同様に
>　PF:AD = CP:CA = PC:AC
>　EP:BC = AP:AC
>　PF:BC = DP:DB = PD:BD
についても
それぞれ
△ＣＡＤと線分ＰＦ
△ＡＢＣと線分ＥＰ
△ＤＢＣと線分ＰＦ
を青線や緑の線でそれぞれ抜き出すと同じ形をしていることがわかると思います。つまり、いちいち全部覚えなくても上に書かれている(1)の部分さえ知っていれば後はその図形があることがわかれば導き出せてしまうわけです。

図形の問題で重要なのはこのような「自分の知っている形をいかにして見つけ出せるか」です。これは問題をたくさん解いて身に着けるしかないでしょう。

この回答への補足

ありがとうございます。
参考になりました。

補足日時：2006/03/29 11:09

No.6 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/28 22:04

#2の補足に回答します。

相似の証明はあなたの方法で合ってます。

これら３つの相似比を求めることができたら、
ご質問にある、
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
にもたどりつけるし、#3の補足であなたが「暗記しても大丈夫ですか？」といっている比率にもたどりつけます。チャレンジしてみませんか?

他人が教えてくれた比率を丸暗記なんかしても、ちょっと変わった問題になったらきっと対応できません。相似を使って自分で導き出せたら、導き出し方は自然と頭の中に残ると思いますよ。

この回答への補足

＞
△APD∽△CPB …(1)
△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)
なのはわかります?

(1)の相似比をADとBCを使って表せます?
それを使って、(2)とか(3)の相似比を表せます?
これができれば、ご質問の
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
は出てくると思います。

についてですが。
△APD∽△CPB …(1)
について比を考えると
AD:BC=DP:BP＝AP:CP

△BAD∽△BEP …(2)
について比を考えると
AD:EP=BD:BP=AB:BE

△CAD∽△CPF …(3)
について比を考えると
AD:PF=AC:PC=CD:CF

から
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
に近づけれるかわかりません。

補足日時：2006/03/28 22:31

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/03/28 20:04

> 　EP:AD = BP:BD

> この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか？
> 台形の比として。

台形というより，平行線の性質として，次のことが成り立ちます。

三角形BAD，BA上の点E，BD上の点P のとき
　EP // AD ⇔ BE:BA = BP:PD
　EP // AD ⇒ EP:AD = BP:PD

証明は，△BEP と △BAD が相似になることを仲介してできます。

ところで，証明とは何でしょう。
自分が納得する，あるいは他人を納得させる，ためにすることです。
ですから，納得できないことを憶えて使っても証明とはいえません。
逆に，すでに自分が納得していることはいくらでも使って構いません。

No.4 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2006/03/28 15:08

> この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか？

「作り方」（なぜ、こうなるのか）なら覚えてもいい。
「比」を覚えるのはダメ。
数学をやる上で「答えを暗記」する癖を付けないように。

この回答への補足

例えば
EP:AD = BP:BD
ではなく、EP:AD=DP:BD
とおいてもいいのですか？
　

補足日時：2006/03/28 19:16

No.3 回答者： take008 回答日時： 2006/03/28 00:48

まず，証明したい式を，同値な式に変形していって，証明しやすい式にします。

　 1/AD + 1/BC = 2/EF
⇔ EF/AD + EF/BC = 2
⇔ (EP+PF)/AD + (EP+PF)/BC = 2
⇔ EP/AD + PF/AD + EP/BC + PF/BC = 2

この式を念頭において，図を眺めると
　EP:AD = BP:BD
　PF:AD = CP:CA = PC:AC
　EP:BC = AP:AC
　PF:BC = DP:DB = PD:BD
の関係に気づくでしょう。
ゆえに
　 EP/AD + PF/AD + EP/BC + PF/BC
＝ BP/BD + PC/AC + AP/AC + PD/BD
＝ (BP+PD)/BD + (AP+PC)/AC
＝ BD/BD + AC/AC
＝ 2
証明終わり

となります。

この回答への補足

ありがとうございます。
　EP:AD = BP:BD
　PF:AD = CP:CA = PC:AC
　EP:BC = AP:AC
　PF:BC = DP:DB = PD:BD
この比の作り方は暗記しても大丈夫ですか？
台形の比として。

補足日時：2006/03/28 13:08

No.2 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/28 00:28

△APD∽△CPB …(1)

△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)
なのはわかります?

(1)の相似比をADとBCを使って表せます?
それを使って、(2)とか(3)の相似比を表せます?
これができれば、ご質問の
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
は出てくると思います。

この回答への補足

△APD∽△CPB …(1)
△BAD∽△BEP …(2)
△CAD∽△CPF …(3)

は、なんとなく分かります。
△APD∽△CPB …(1)
はAD//BDより
対頂角と錯覚が等しいから
△APD∽△CPB

△BAD∽△BEP …(2)
EP//AD
∠Bは共通
∠BEP=∠BAd
より
△BAD∽△BEP

で合ってますか？

補足日時：2006/03/28 10:19

No.1 回答者： D-JAGA 回答日時： 2006/03/27 19:18

とりあえず、間違いを指摘します。

点Pは図形の中心点ではありません。
この問題は、平行線の性質と相似図形の問題となります。
三角形APD∽三角形CPBになるので(←ちゃんと証明しないと、おそらく正解とはされないでしょう。(錯角を考えれば))、また、他に出来る三角形についても相似関係になっているものがありますので、それらの相似による比を使っていけば、後は計算していくだけです。(相似の証明は、全て平行線の性質から求められます。)