図形と方程式

平面上の2点をＡ(1,1),Ｂ(2,3)とする。点Ｐが放物線y=x^2+4x+11上を動く時、△ＰＡＢの面積の最小値を求めよ。

この問題を教えてください。
ＡＢを底辺とすると直線ＡＢと点Ｐの距離が最短のときを考えたんですが、先へ進めません。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/01/20 18:53

> ＡＢを底辺とすると直線ＡＢと点Ｐの距離が最短のときを考えたんですが、先へ進めません。

その発想で良いと思います。
放物線上の点Pの座標については、x座標をpとおけばy座標はp^2 + 4p + 11ですから、
直線AB（2x - y - 1 = 0）と点(p, p^2 + 4p + 11)の距離が最小になるようなpを求めれば終わりです。

具体的にどのあたりでつまづいているのでしょうか？

この回答への補足

直線ＡＢと点Ｐの距離

d=|t^2+2t+12|/√5

まで出たのですが、そこからが分りません。

補足日時：2008/01/20 22:00

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/20 19:02

＞ＡＢを底辺とすると直線ＡＢと点Ｐの距離が最短のときを考えたんですが、先へ進めません。

ＡＢの長さが一定から、高さが最小であればよい。
従って、直線ＡＢに平行な放物線y=x^2+4x+11の接線を考えると良い。

点Ｐを（α、α＾2＋4α＋11）として、素直に計算しても良い。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/01/20 19:17

今度から、質問者さんの解答を書いて質問して下さい。

どこでつまづいているか分かりません。

A,Bを通る直線Lは
y-1=2(x-1)
2x-y-1=0
点P(x,x^2+4x+11)から直線Lに下した垂線の長さh=f(x)は公式から
h=f(x)={2x-(x^2+4x+11)-1}/√5
=-(x^2+2x+12)/√5
=(11-(x+1)^2)/√5
hの最小値H=f(-1)=11/√5
∴P(-1,8)
面積S=AB*H/2={√(5)}*(11/√5}/2= ？

No.4 回答者： yhposolihp 回答日時： 2008/01/20 19:47

>>直線ＡＢと点Ｐの最短距離を考えた。

　直線ＡＢ ;　　-2x+y+1=0
　点Ｐ( t , t^2+4t+11 )

　d=| -2t+t^2+4t+11+1|/√5
　 =| t^2+2t+12 |/√5
　 =[ (t+1)^2+11 ]/√5

　t=-1,,,Ｐ(x,y)=(-1,8),,,d(min)=11/√5

　AB=√5

　S(min)=(1/2)*√5*(11/√5)=11/2　。

No.5 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/01/20 22:33

> d=|t^2+2t+12|/√5

>
> まで出たのですが、そこからが分りません。

距離dはtの二次関数となっています。
なので二次関数の最大・最小と同じ考え方で最小値が求められます。
まず平方完成して

|t^2 + 2t + 12| / √5 = |(t + 1)^2 + 11| / √5

(t + 1)^2は0以上の数（2乗しているから）、+ 11は正の数なので、
(t + 1)^2 + 11は正の数ということになります。よって

|(t + 1)^2 + 11| = (t + 1)^2 + 11

となります。ここからdは

d = { (t + 1)^2 + 11 } / √5

となります。これで絶対値の記号がとれてただの2次関数となりました。
この式から、t = -1でdは最小値をとるということが分かります。

No.6 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/20 23:05

ヘッセの公式（点と直線との距離の公式）の使い方（絶対値の扱い方）が問題ある解答が見られる。

線分ＡＢの方程式は、2x - y - 1 ＝ 0であり、点Ｐ（α、β）但し、β＝α＾2＋4α＋11.とする。
距離＝｜2α - β - 1 ｜/√5.‥‥(1)
ところが、点Ｐ（α、β）は線分y＝2x＋1の上方にあるから（正領域・負領域の知識により）、β＞2α＋1であるから、距離＝（β-2α＋1）/√5＝α^2+2α+12＝（α＋1）＾2＋11。αの2次関数から、α＝-1で最小となる。

＞従って、直線ＡＢに平行な放物線y=x^2+4x+11の接線を考えると良い。

接点を点Ｐ（α、α＾2＋4α＋11）とすると、その接点における接線が直線ＡＢに平行であれば最小になるから、y＝x^2+4x+11を微分してy´＝2x＋4より、2α＋4＝2.よってＰ（-1、8）である。