矛盾する記号

Question

数学なのかは分かりませんが、高橋正一郎という人の本を読みました。
ゲーデルという人の話なのですが、その中の不完全性定理という話の中で、
世界は矛盾があるから不完全？なのだみたいなことが書いてありました。
でもよく数学で変な記号？とか使っていろいろなことが証明されたいるじゃないですか。これは矛盾するんだみたいな記号を作ったらどうなんですかね。
そういう学問の基礎的な知識がないので申し訳ないんですが良かったら答えてください。

starflora · Accepted Answer

論理的な「矛盾」については、まず、「論理的に等しい」とは何かを理解しなければなりません。論理的に等しい二つの命題は、「論理等号」で結ぶことができます。丁度、４と（２＋２）というのは、数の世界では、同じことで、「等しい」ので、等号を使って、４＝２＋２と書くように、論理の命題にも、同じ内容のことを言っている、論理的に同じである、「論理的に等値だ」ということがあり、これを、「論理等号」で結びます。
　
　　具体的な例で話をしましょう。「ジョンは大酒飲みだ」という命題があるとします。「命題」とは、何か主語があって、その主語について、何かを断定的に述べる文章のようなものです。他方、「大酒飲み」とはどういうことかという疑問も起こります。どれぐらい酒を飲むと「大酒飲み」になるのか。論理学では、こういうことも決めておかないと、話が進まないのです。
　
　　そこで、「大酒飲み」とは、１）酒を飲み始めると、一日、最低で２升の酒を飲む。また、２）一週間７日のあいだに、５日以上酒を飲む。この１と２を満たすのが、大酒飲みだとします。すると、「ジョンは大酒飲みだ」という命題をＡとして、先の１と２を、Ｓ１，Ｓ２の命題とします。この時：
　
　　Ａ≡Ｓ１＆Ｓ２
　
　　と書きます。線が三本並んでいる等号は、普通の等号ではなく、「論理等号」と言います。言葉で云いますと、
　
　　ジョンは大酒飲みだ　≡（は、論理的に、右の主張と等しい）　Ｓ１（ジョンは酒を飲み始めると一日最低で２升の酒を飲む）かつＳ２（ジョンは、一週間７日のなか、５日以上酒を飲んでいる）
　
　　「大酒飲み」とは何かの定義から、この論理式が正しいことが分かるでしょう。こういう風に、論理的に、命題が主張している内容（真偽）が、同じである場合、二つの命題は、論理的に等値である、等しいと言い、二つを論理等号で結びます。
　
　　矛盾というのは、簡単に言えば、論理的に等値でないものを、等値だとしたような場合です。「ジョンは大酒飲みである」をＡとして、その否定命題を notＡつまり、「ジョンは大酒飲みでない」とします。この時：
　
　　Ａ≡notＡ
　
　　はおかしい訳です。これが正しいと主張した場合、「矛盾している」と言います。これは間違った式だという場合、別に矛盾ではありません。矛盾したことを、正しいと言っている人は矛盾を主張していることになりますが、それが矛盾していると指摘する人は、別に矛盾していないのです。
　
　　矛盾というのは、元々、昔の中国の伝説的故事から来ていて、ある市で、商人が、自分の商品を自慢して、まず最初に「矛（ほこ）」を出し、「この矛は素晴らしい矛で、どんな楯（たて）でも貫き通す」と言いました。また、更に商品を自慢して、今度は、「楯（たて……盾の元の漢字）」を出し、「この楯は素晴らしい楯で、どんな鋭利な刃物もこの楯を貫くことはできない」と言いました。すると、商人の話を聞いていた群集のなかの一人が尋ねたのです。「では、その矛で、その楯を突いてみてくれ。どうなるのだろうか？」
　
　　矛について商人が言ったことと、楯について商人が言ったことが、両方とも正しいとすると、その矛でその楯を突くとどうなるのか。現実の話だと、矛の先が折れるとかして、楯の方が強いということになるか、または、矛が見事楯を貫いて、優れた矛であるとなるでしょうが、どちらの場合も、商人の主張には合わないのです。そこで、こういう商人のような主張を「矛盾」と呼ぶのです。
　
　　簡単に言うと、命題Ａが、「この矛は楯を貫く」だとすれば、反対命題 notＡは、「この矛は楯を貫かない」です。Ａと notＡが論理的に両立することはないので、Ａであり、同時に notＡであると言っていた商人の言葉は、嘘で、間違っており、矛盾しているのです。
　
　　また、Ａと notＡは、論理的に等値でないので、これを、
　
　　Ａ ［≠] notＡ
　
　　と書きます。［≠] は、本当は、三本の線にそれを横切る斜め線を引くのですが、記号がありませんので代用します。Ａ≡notＡ は矛盾ですが、先に言ったように、これを「真だ」というと矛盾になるので、これが「偽」だと言うのは、矛盾ではありません。「真だ」というのを、Ｒという記号で示し、「偽だ」というのを、Ｆという記号で示しますと：
　
　　（Ａ≡notＡ）≡Ｒ
　
　　は、「矛盾を示している式」なのです。式が、こんな形になると、「矛盾しているのだ」という意味になるのです。
　
　　もっと込み入っているのですが、 「これは矛盾するんだみたいな記号」というのは、すでにあるのです。「これは矛盾していない」という記号を逆にする（否定する）と、「これは矛盾している」という記号になるのです。
　
　　これは矛盾だ、という記号というか、そういう表現の式が確かにあり、ゲーデルの不完全性定理というのは、ある数学の理論を造ると、その理論に対し、ある命題が考えられ、この命題は「真か偽か」で、ある方法で証明して行くと、「真になる」のですが、別の方法で証明してみると、おかしなことに、「偽である」という結果がでるのです。ゲーデルは、どんな数学理論でも、その真偽が決定不能な命題がありえるということを証明しました。
　
　　どんな数学の理論も矛盾がある、つまり、不完全なのだ、というのが、ゲーデルの定理なのですが、注意がいるのは、では、その真偽が決定できない命題というのは、具体的に何のことかというと、具体的には、まったく分からないのです。
　
　　これは「嘘つきのパラドックス」によく似ていて、例えば、或る男が、「おれの言っていることは嘘だ」と言ったとします。そう言ったのですから、「おれの言っていることは嘘だ」は嘘になります。しかし、これが嘘だと、「おれが言っていることは本当だ」となります。しかし、「おれが言ったこと」は何かと言えば、「おれが言っていることは嘘だ」ですから、この言葉が本当だとすると、やはり、この言葉は嘘だったのか、となります。
　
　　しかし、考えなければならないのは、この「嘘つきの男」は、「具体的に何を言ったのか」です。実は、何も具体的に言っていないのです。「おれの言うことは嘘だ。あの林檎は腐っている」と言ったとすると、「あの林檎は腐っていない」と言っているのと同じで、腐っているかどうか、確かめることができます。
　
　　ここで、林檎が本当に腐っていた場合、男の言った通りですが、林檎が腐っていなかった場合、男に対し、「嘘を言うな」となり、男は、実際の林檎の状態で、本当のことを言ったか、嘘を言ったか決まります。しかし、「おれの言っていることは嘘だ」では、何が嘘だと言っているのか、さっぱり分からないのです。ゲーデルの不完全性定理に出てくる証明は、これと実によく似ています。
　
　　「それは矛盾するのだ」という記号あるいは「概念」はすでにあるのだというのが回答です。（訳の分からない話ですが、あまり易しく言うと、余計におかしくなるので、ゲーデルの定理や、嘘つきのパラドックスの話は、跳ばしても構いません）。

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