約数の総和の問題です

「kが正整数で2^k - 1が素数であるとする。a=2^k-1(2^k - 1)のすべての約数(1とaを含む）をa[1]a[2]・・・・・a[n]とするとき、Σ(from i to n)1/a[i] を求めよ。」

という問題なのですが、2^k - 1が素数だから、kは任意の正の整数ではないですよね。例えばk=4のときは、2^k - 1=15となってしまって素数ではなくなりますよね。そう考えていくと、問題自体が成立しないように思えてくるのですが、どう考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

No.1 回答者： prome 回答日時： 2002/03/05 09:50

まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、

a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり２の(k-1)乗かける(２のk乗－１)でいいのでしょうか？
また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか？

もしそうなら、これは完全数の問題ですね。
ｋ＝２の時、ａ＝６　ｋ＝３の時、ａ＝２８で、
それぞれ６＝１＋２＋３、２８＝１＋２＋４＋７＋１４のように、
約数の総和が自分自身になるのです。
そのようになる整数を完全数といいます。

＞問題自体が成立しないように思えてくるのですが、

これは、2^k - 1が素数になるような正の整数ｋを考えてくださいという意味で、
おっしゃるようにｋ＝４の時やｋ＝８の時などは2^k - 1が素数にならないので、
考えなくていいということです。

そしてこの問題の解法は下記の参考URLの最後のあたりに出ています。
答えは２。

参考URL：http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/jyugyo/sosuu2.html

この回答への補足

＞まず確認ですが、a=2^k-1(2^k - 1)の部分は、a=2^(k-1)(2^k - 1)つまり２の(k-1)乗かける(２のk乗－１)でいいのでしょうか？ また、Σ(from i to n)1/a[i] の部分は、1/a[1]+1/a[2]+・・・1/a[n]でしょうか？

はい、その通りです。すいません、ちょっとわかりにくかったですね。

＞これは、2^k - 1が素数になるような正の整数ｋを考えてくださいという意味で、おっしゃるようにｋ＝４の時やｋ＝８の時などは2^k - 1が素数にならないので、考えなくていいということです。

ご紹介してくださった、ページに言ってみたのですが、文字化けしていてよく見えないので、いちおう私の本に載っている解答を書いておきます。

「2^k-1が素数だから、aの約数は、1,2,2^2,・・・・,2^(k-1) , 2^k - 1 , 2(2^k - 1)・・・・,2^(k-1)(2^k - 1)
Σ(from i to n)1/a[i] = {(1 + 1/2 +・・・+1/(2^(k-1))}{1 + 1/(2^k - 1)}
= {1 - (1/2)^k}/{1 - 1/2} × 2^k/(2^k - 1)
={2(2^k - 1)}/{2^k - 1}
=2

となっているのですが、上の式から見ると、初項１，公比１／２の等比数列の和の公式を使っていますよね。でもｋ＝４の時やｋ＝８の時は2^k - 1が素数にならないので不適だということを考えあわせれば、kは自然数列ではないので、等比数列の和の公式は使えないと思うのですが。どうかんがえればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

補足日時：2002/03/05 23:21

No.2 ベストアンサー 回答者： tiezo- 回答日時： 2002/03/06 09:21

2^k-1が素数になるような正の整数ｋについて次の値を求めよという意味です。

また、このkはΣの記号の中でよく用いるkとは異なります。
この問題では、Σの記号ではiを用いiは１からｎまでの自然数列です。
具体的に考えるとk=5のとき約数は、1,2,...,16,31,31*2,...,31*16となり
逆数の和を考えるとき31を含まない数と含む数に分けて計算
(1+1/2+...+1/16)(1+1/31)=2(31/32)(32/31)=2
一般の時にも同様に計算すればできます。

この回答へのお礼

＞具体的に考えるとk=5のとき約数は、1,2,...,16,31,31*2,...,31*16となり
逆数の和を考えるとき31を含まない数と含む数に分けて計算
(1+1/2+...+1/16)(1+1/31)=2(31/32)(32/31)=2
一般の時にも同様に計算すればできます。

tiezo-さんお返事どうもありがとうございます。具体例で示していただいたおかげで自分のどこが間違っているのかはっきりと理解できました。そういうことだったんですね。仰るとおり、Σの記号iと、問題文中で出てくるkを混同いたしまして、パニックに陥っていました。kはあくまでもkのままで計算すれば良かったんですね。お返事どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/03/07 06:57

No.3 回答者： hinebot 回答日時： 2002/03/06 16:42

>上の式から見ると、初項１，公比１／２の等比数列の和の公式を使っていますよね。

でもｋ＝４の時やｋ＝８の時は2^k - 1が素数にならないので不適だということを考えあわせれば、kは自然数列ではないので、等比数列の和の公式は使えないと思うのですが。どうかんがえればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

式の変形で数列の和の公式を使っているだけです。数列の和の公式自体は、任意の自然数について成立します。
「ｋ＝４の時やｋ＝８の時は2^k - 1が素数にならないので不適」というのは、和の公式の変形には無関係です。
例えば、1 + 1/2 +・・・+1/(2^(k-1))　の部分は初項１、公比1/2の等比数列の第k－１項までの和です。それを和の公式に当てはめて変形しているだけです。
つまり、公式による変形自体はｋの値は考えなくていいんです。
約数の和を求めるときには、ｋの値は一つの値に決まっている（変化しない）と考えると理解しやすいでしょうか。

（ちゃんと説明できているのかな。ちょっと不安ですが）

この回答へのお礼

＞つまり、公式による変形自体はｋの値は考えなくていいんです。約数の和を求めるときには、ｋの値は一つの値に決まっている（変化しない）と考えると理解しやすいでしょうか。

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、公式による変形自体はｋの値は考えなくて良かったんですね。シグマの記号を取り間違えていて、iの自然数列なのに、kの自然数列だと勘違いしておりました。初めは混乱しましたが、おかげさまでもう大丈夫です。良かった。相もありがとうございました！

お礼日時：2002/03/07 07:03