集合の基本論で恐縮なんですが・・。

X=1　→ X=1,2,3
（X=1ならばX=1または2または3)

これが真ということがなんとなく、納得できません。
（たぶん真ですよね？その根拠はX=3ならばX^2=9は真と教科書に載っていたからです。）

X=1 ⊂ X=1,2,3　

ということはわかります。定義的に言えば納得したことになるのもわかります。

でも、現実問題、X=1ならば、X=1,2,3ってなんかちょっと違う気がしません？

No.6 回答者： Caper 回答日時： 2006/08/20 16:26

　私のこの回答がまちがっている場合は、ごめんなさい。

　taku1233 さん のご質問に、まず通し番号をふらせてください。

X=1　→ X=1,2,3
（X=1ならばX=1または2または3) ■ … (1)

これが真ということがなんとなく、納得できません。
（たぶん真ですよね？その根拠はX=3ならばX^2=9は真と教科書に載っていたからです。）■ … (2)

X=1 ⊂ X=1,2,3 ■ … (3)

ということはわかります。定義的に言えば納得したことになるのもわかります。

でも、現実問題、X=1ならば、X=1,2,3ってなんかちょっと違う気がしません？

■ … (1)
　数学記号の使いかたにおいて、省略が多すぎるように、私は思います。私でしたら、次のように表記します。

　( x = 1 ) ならば ((( x = 1 ) または ( x = 2 )) または ( x = 3 ))
　( x = 1 ) → ((( x = 1 ) ∨ ( x = 2 )) ∨ ( x = 3 ))

　なお、上記では、集合とその要素をはっきりと区別するために、エックスを小文字で表記しました。
　さらに、taku1233 さん は「 または 」を , ( コンマ ) で表わしていますが、それはやめておいたほうがよいと、私は思います。といいますのは , ( コンマ ) は「 かつ 」を表わすのに用いると、私は記憶しているからです。

■ … (2)
　「 その根拠は … 」の部分についてですが、なぜこのような根拠が述べられるのか、私には全然わかりませんでした。私の頭が悪いのでしょうか … 。

■ … (3)
　この表記のしかたは誤っていると、私は思います。例えば、次のように表記してはいかがでしょうか。

　(( X = { 1 } ) かつ ( Y = { 1, 2, 3 } )) ならば ( X ⊆ Y )　< * 注 >
　(( X = { 1 } ) ∧ ( Y = { 1, 2, 3 } )) → ( X ⊆ Y )

　taku1233 さんは上記の (1) と (3) との区別がついていないのではないかと、私は推測します。(1) と (3) とでは、真であることの示しかたが異なります。
　まず、(3) が真であることを示すには、「 X の 任意の要素が必ず Y の要素であること 」を示します。
　(1) が真であることを示すには、真偽表を作成して、(1) が トートロジー (= 恒真命題 ) であることを示します。( x = 1 ), ( x = 2 ), ( x = 3 ) をそれぞれ ( 命題 A ), ( 命題 B ), ( 命題 C ) と単に表記することで、真偽表が作りやすくなりませんか。そのように表記することで、(1) は次のように表記されます。

　( 命題 A ) → ((( 命題 A ) ∨ ( 命題 B )) ∨ ( 命題 C ))

< * 注 >
　X ⊆ Y は「 X は Y の部分集合である 」の意です。なお、(3) の場合は、X ⊂ Y すなわち「 X は Y の真部分集合である 」とも言えます。「 Y の 特定の要素が X の要素でないこと 」を示せますので。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/20 00:45

「現実問題、X=1ならば、X=1,2,3ってなんかちょっと違う気が」するんですか？そりゃ困ったな。

「１歳、２歳、３歳の方は無料で飲み放題！」と看板に書いてあるミルクホールに１歳の方がお越しになった場合でやってみましょ。

アルバイトのウエイターが
「あの、お客様。失礼ですがお歳のほー、何歳になられられれますでしょうか？」
「ばぶ！」
「あ、１歳になられれれますか。ええと、１歳、２歳、３歳の方ですとですね、無料なんですが、お客様は１歳でいらっしゃいますから、１歳、２歳、３歳とはなんかちょっと違いますので、無料にはなりません。申しわけございません。」

このウエイター、どうしましょう？
ばぶ！

No.4 回答者： SortaNerd 回答日時： 2006/08/19 12:21

集合論で言う「ならば」という言葉の意味は日常語とは異なります。

AならばB

というのは、「Aである場合は全てBである場合に包含されている」という意味です。
Bである場合のうちAでないものについては何の情報も与えません。
X=1 ⊂ X=1,2,3
と全く同じことを言っています。

No.3 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/19 11:10

No.1です。

-と=のミスの訂正をしときます。

x-1=0ならば(x-1)(x-2)(x-3)=0
は納得できますか？

x-1=0はx=1と同じ
(x-1)(x-2)(x-3)=0はx=1,2,3と同じ
なんですが。

命題と集合の区別をきちんとしておくことは重要です。
命題x-1=0の集合は{1}
命題(x-1)(x-2)(x-3)=0の集合は{1,2,3}

命題(x-1)(x-2)(x-3)=0は
命題x=1,2,3(x=1または2または3)
と同値
その集合{1,2,3}は1と2と3の集まり

同じ,(カンマ)を使ってありますが意味をきちんと理解しておきましょう。

No.2 回答者： yanasawa 回答日時： 2006/08/19 11:07

x=1 or x=2 or x=3 が真であるとは、「少なくとも」一つが真であることと同値です。

x=1 ならば、確かに少なくとも１つ（この場合 x=1）が真ですね。
日常の「または」とちょっと意味合いが異なります。

No.1 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/19 10:57

x-1=0ならば(x-1)(x-2)(x-3)=0

は納得できますか？

x-1=0はx-1と同じ
(x-1)(x-2)(x-3)=0はx=1,2,3と同じ
なんですが。