立方体からなるべく大きな球を2つ取り出す方法

いま、ちょっとした作品を作るために立方体のスポンジを用意したのですが、ここから球体を二つ作りたい(切り出したい)のです。なるべく材料は無駄にせず、取り出す球体を大きくしたいです。

ぱっと考えた感じでは立方体を4つの頂点を結ぶラインで切り分けて、二等辺三角柱ふたつにするのかな…と思ったのですが、やっぱりなんか違う気がします。
入試問題で立方体に内接する球体の問題とかがあった気がするので、数学でなんとかいい方法が得られそうな気がするのです。
どうかよい方法をご教授頂けないものかと思っております。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： saru_1234 回答日時： 2006/08/25 22:35

中途半端ですけど...

同じ大きさの球を２個、として.

#2さんの考え方を拝借して...

机上に立方体を、１本の対角線を垂直になるように
置いて下さい。
(手で支えて下さい)
カドが机に触れてる状態です。

この状態で、立方体の中に２個の球が
ダンゴのようにタテに並んで触れ合ってる図を
想像して下さい。
最も長い軸上で、内側は触れ合っていて、外側は
カドまでは届きませんがカドに押し付けられた状態なので
これが最大の球になると思います.

立方体をまず２つに切り分けるなら、
その対角線の中心を通り、尚且つ机と平行な面で
切ればいいです。

...と、ここまで考えたのですが、寸法を導き出せません.

中点とかキリのいい位置でなく、切断面も六角形になる位置だと思うのですが.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

イメージがつかめました。確かに切り口は六角形っぽいですね。各辺の中点を結んでいけばこの切り口になりそうですが…

お礼日時：2006/08/25 22:56

No.8 回答者： Ishiwara 回答日時： 2006/08/26 17:48

ANo.7です。

すみません！ 計算ミスでした。
直径１８ｃｍと書きましたが、１９.０３ｃｍに訂正します。
第１の球の中心を（r, r, r）におき、２つの球の接点を（x, x, x）とすると
3*(x-r)*(x-r) = ｒ*r
r+x=15 とおいて、これを解きます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

No.5のredowlさんに教えていただいた計算式でも半径が約9.5cmのようですので、直径は19.03cmで間違いなさそうですね！
そのサイズの球が取り出せるようにがんばってみます。

この場をお借りしますが、皆さん本当にどうもありがとうございました。

お礼日時：2006/08/27 02:43

No.7 回答者： Ishiwara 回答日時： 2006/08/26 16:13

１稜が３０ｃｍの立方体から、直径が１８ｃｍの球が２個取り出せます。

文章で図を示すのがたいへんなので省略しますが、三平方の定理の簡単な応用問題です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

取り出せる最大の球の大きさはだいたいそのくらいなのですね。

お礼日時：2006/08/27 02:36

No.6 回答者： saru_1234 回答日時： 2006/08/26 01:52

#4 です.

> 各辺の中点を結んでいけばこの切り口になりそうですが…

私もそう思って図を書いてみるとどうも変だったので
避けてたのですが、
単にヘタなだけだったようですｗ
もう少し経ってからリアルな寸法で書いてみると,
「中点を結ぶ...」で大丈夫のようでした。

...証明ができませんけど...

この回答へのお礼

再度回答ありがとうございます。

実際に立体があるので教えていただいたように頂点を床につけて対角線を垂直になるように立体を置いてみたら、どうやら各辺の中点っぽいなーって思ってお返事書かせていただきました。
紙に図を書いただけでは何のことだか分からなくなってしまいそうです…(^^;

お礼日時：2006/08/27 02:35

No.5 回答者： redowl 回答日時： 2006/08/25 23:20

球体の半径をr（cm）

立方体の最大対角線は30√3 cm・・・・(1)
この長さの串に半径r　(cm)の団子２兄弟を突き刺せば
r√３ + r + r + r√３ ・・・・・(2)

(1) = (2)　で　rを求めると・・・・

r＝(15√3)/(1+√３)

で、約９.５cm

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

これは取り出せる球の半径でしょうか？
直径でだいたい19cmですね。これぐらいあれば十分だとおもいます。

お礼日時：2006/08/26 00:08

No.3 回答者： kaduno 回答日時： 2006/08/25 21:52

取り出したい球体の条件が詳しく書かれていないので、難しいですね。

・２個の球体は同じ大きさなのか
・球体は仮に半球を２つ合わせたものではダメなのか
・球体に中身が必要なのか

外見だけでよいのなら、立方体から一番大きな球体を削りだして(これは簡単ですね)、その球体を２個以上に分けて、中身をくりぬいてその中身でもう１個の球体を作成し、切ったところはボンドで接着するなどもあります。

とにかく、取り出したい球体の条件が不明です。

この回答への補足

＞２個の球体は同じ大きさなのか
同じ大きさのがほしいです。

＞球体は仮に半球を２つ合わせたものではダメなのか
貼りあわせとかではないものです。

＞球体に中身が必要なのか
中身は必要です。

補足日時：2006/08/25 22:06

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

少々条件があいまいで申し訳ありませんでした。
補足にてお返事させていただきます。

お礼日時：2006/08/25 22:09

No.2 回答者： ungirl 回答日時： 2006/08/25 21:39

うまく説明できるか自信がありませんが。

質問者さんがおっしゃる方法よりも、もう少し大きくする方法がありそうです。

イメージとしては、立方体の対角線（一番長い部分）に、それぞれの球の中心が来るようにしたらよいと思います。
つまり、まず対角線の頂点、そして、その線とねじれの位置にある二つの線分（対角線と交わらない部分の線分）の、各中点を通る平面で切り分けます。
切り口はひし形です。
そのそれぞれの四角すいから、体積が最大となるように球を切り取ればよいと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

切り口が各面を通る線は引くことができました。
これで切るとはじめ考えていたものよりは大きく切り出せそうですね。

もう少し他の方法も待ってみます。

お礼日時：2006/08/25 22:14

No.1 回答者： mayan99 回答日時： 2006/08/25 21:39

直方体に近い形という前提で

平面だけ考えると

長い辺＞２＊短い辺　なら　２等分

長い辺＜２＊短い辺　なら　その比率に応じて
中心を通る斜めの線で切ることになると思います。
斜線の角度は　辺の比率によります。

さらに立体ですから、もう一つの辺の比率も考慮しないといけませんね。

実際の寸法と形状が分からないと答えられないと思います。

この回答への補足

実際の寸法はすべての辺が30cmの立方体です。

補足日時：2006/08/25 22:04

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

立方体なので辺の長さはすべて等しいです。

お礼日時：2006/08/25 22:06