なぜ未知数の数だけ方程式が必要なのか

未知数が複数ある場合、その未知数の数と同じだけの数の方程式が必要になりますよね。
これについて、中学校で連立方程式を習ったときから何も疑問を持たずに問題を解いてきましたが、最近ふとこのことについて疑問に思うようになりました。
なぜ方程式が複数必要なのか、またできれば証明方法も教えていただけるとうれしいです。
私、現在高校1年ですので、申し訳ないのですができればそのレベルの知識で理解できる回答をお願いします。
お時間のあるときで構いませんので是非ご回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ungirl 回答日時： 2006/08/25 23:00

例えば未知数が3個（a,b,c）あったとします。

ひとつ方程式があれば、ひとつの未知数(a)を、残り2つの未知数(b,c)で表せますね。
それを残りの2つの式に代入すれば、未知数２つ(b,c)、式２つの方程式になります。

残りの式の１つから、１つの未知数（ｂ）を残りの未知数（ｃ）で表せます。
それを残りの式に代入すると、未知数１つ（ｃ）、式1つの方程式になります。
これは、「ｃ＝」の形にすれば、値が出てきます。
ｃが出てくれば、芋づる式にaもbも値が出るので解けます。

これを、一般化すれば証明できそうですね。
未知数の数をｎ、式の数がｎとします。（ｎは自然数）
「n=1のとき解ける。」
「n=kの時解けるならば、n=k+1の時も解ける。」
⇒よって、nが何であっても、n個の未知数、n個の式なら解ける

という感じで証明できそうです。

（これは厳密な証明ではないことを付け加えておきます。
あくまでも内容の理解を目的として書きましたので。）

No.2 回答者： elmclose 回答日時： 2006/08/26 01:24

下記は、証明ではなく、単なる説明です。

しかも大雑把な説明です。


未知数がn個あり、それらをx1,x2,x3,・・・,xnとします。
n次元の解空間（x1,x2,x3,・・・,xn）の中に解が存在します。

方程式　:　f1（x1,x2,x3,・・・,xn）= 0
これによって解空間が制約を受け、n-1次元に落ちます。

方程式　:　f2（x1,x2,x3,・・・,xn）= 0
これによって解空間が制約を受け、n-2次元に落ちます。

同様に、n個目の方程式によって、解空間が0次元に落ちます。これが、解が求まるための必要条件です（充分条件とは限らない）。

逆に言うと、解空間が0次元まで落ちないと、言い換えれば解空間が1次元以上の次元を有するならば、解（x1,x2,x3,・・・,xn）はその空間内にしか存在しませんが、1つの解は定まりません。

ということで、直感的にわからないでしょうか。

No.3 回答者： mayan99 回答日時： 2006/08/26 02:19

a,b,cの３つの未知数があったとして

a=1
b=2
c=3

直接数値を示したとしても、最低３つの式が必要です。
回答になっていない回答ですが、これで納得できませんか？

No.4 回答者： N64 回答日時： 2006/08/26 14:27

同じような疑問を持つ人はいるのですねー。

私もつい最近同じ質問を2回しました。
そのうちの後の方の質問をご紹介します。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2342404

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2342404