図形と余弦定理

問題が、一辺の長さ１の正三角形ABCの変BC上に一点Pをとる。BP＝Xとする。AP^2をxであらわせ。また∠BAP＝４５°のとき、Xの値を求めよ。またこの値を利用してsin75°の値を求めよ。

AP^2＝x^2 - x + 1までだせました。
なお、回答ではxの値は√3 - 1　で、sin75°= (√6 + √2) /4
となっております。
その後AからBPに垂線を引いてQとして、
BQ=1/2 QA=(√3)/2　QP=x -(1/2)とか出してみましたが、
AP^2=(√3/2)^2 + (x - 1/2)^2とつないでも
答えにたどり着けません。
解説お願いします・・・。

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2006/10/13 23:56

次は正弦定理使ってはどうですか？

AP/sin60°=x/sin45°
AP^2/(√3/2)^2=x^2/(√2/2)^2
(x^2-x+1)*4/3=2x^2
2x^2+4x-4=0
x^2+2x-2=0
x=-1±√3
xが三角形の一辺であることからx>0
よってx=√3-1

次も正弦定理で
x/sin45°=1/sin75°
sin75°=√2/{2*(√3-1)}=1/(√6-√2)
=(√6+√2)/4

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2006/10/13 22:45

> その後AからBPに垂線を引いてQとして、

> BQ=1/2 QA=(√3)/2　QP=x -(1/2)とか出してみましたが、
これって、最初にAP^2＝x^2 - x + 1を出したときと同じじゃないですか？ 45°がどこにも関係していません。そのため、うまくいかないのだと思います。

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2006/10/13 22:40

∠BAP＝４５°のときを考えるとき、PからABに垂線を引いてみてください。

垂線とABの交点をRとすると、三角形BPRは30°60°90°の直角三角形になるので、PR^2はxを使って表せます。三角形APRは直角二等辺三角形になるので、AP^2はPR^2を使って表せます。
AP^2＝x^2 - x + 1を求めてあるので、xについての等式が出来、xが求まります。