nを正の整数とする。箱の中に3^n枚のカードが入っていて、これらのカードには1から3^nまでの番号がつけてある。この箱から無作為に1枚のカードをとりだし、その番号をXとする。次に、このカードを箱の中に戻し、再び無作為に1枚のカードを取り出してその番号をYとする。このようにして得られた整数の組(X,Y)について、「XとYの積XYは3^nで割り切れる」という事象をAとする。
(1)0≦j≦nである整数jに対し、「Yは3^jで割り切れるが3^(j+1)では割り切れない」という事象をB_jとおく。事象A∩B_jが起こる確率P(A∩B_j)を求めよ
(2)事象Aの起こる確率P(A)を求めよ。
(3)・・・・
この問題に取り組んでいます。
Aという事象とB_jという事象の意味がうまくつかめなくて困っています。Aというのは(X,Y)=(1,3^n)(3,3^n-1)・・・(3^n,1)となるときなのでしょうか?全事象が3^(2n)(?)なのでP(A)=1/3^nとなるのでしょうか?B_jはシグマの記号を使って表すのでしょうか?
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
●「カードに書いてある番号 kを3で最大何回割れるか」というのを S(k)と表す事にします。
(「S」は以下の記述を短くするために勝手に作った記号であって、もちろん「おぼえるもの」なんかじゃありません。)すると、S(k)=j とは k = (3^j)×(3で割り切れない自然数) という意味ですし、S(k)≧j とは k = (3^j)×(任意の自然数) という意味です。たとえば、
S(15) = 1 なぜなら 15 = (3^1)×5
S(16) = 0 なぜなら 16 = (3^0)×16
S(17) = 0 なぜなら 17 = (3^0)×17
S(18) = 2 なぜなら 18 = (3^2)×2
といった具合です。
● この記号を使うと、事象A「二枚のカード X,Yについて XYが3^nで割り切れる」とは
S(X)+S(Y)≧n
ってことであるのがわかります。そして事象B[j]とは
S(Y)=j
のことであるのがわかります。
(1)事象 A∩B[j] とは
S(X)+S(Y)≧n ∧ S(Y)=j
のこと。これは
S(X) ≧ n-j ∧ S(Y)=j
ということと同値です。(なお「x ∧ y」とは「 xであり、かつyである」という意味。「同値」とは、「互いに必要十分条件になっている」という意味です。)
だから、
S(X) ≧ n-j となる確率をp[j]とすると
p[j] = (S(k)≧n-j となるkが書いてあるカードの枚数)÷(全てのカードの枚数)
S(Y)=j となる確率をq[j]とすると
q[j] = (S(k)=jとなるkが書いてあるカードの枚数)÷(全てのカードの枚数)
そして、X, Yは独立に(互いに無関係に)選ばれるのだから、事象 A∩B[j]が生じる確率P(A∩B[j])は
P(A∩B[j]) = p[j] q[j]
となります。(XとYを入れ替えたら重複しないか?なんてことを心配する必要は全くありません。)
(2)事象B[j]とB[i](i≠j)は、両方が同時に成り立つことはない。つまり互いに排他的です。だから、
P(A) = Σ P(A∩B[j]) (Σはj=1~nの総和)
● さて、k = 1~3^n が書いてあるカードが1枚ずつあるとき、S(k)≧j となるカードは何枚あるか。探すのは
k = (3^j)×(任意の自然数)
であるようなカードです。j>nなら0枚、j=0なら 3^n枚と、ここまでは当たり前。問題は 0<j≦nのときです。
S(k)≧j とは、「k を3でj回以上割れる」という意味であり、従って、「k = (3^j)mとなるような自然数m(ただしm≧1)が存在する」ということです。だから、
k = (3^j)m ∧ k ≦ 3^n ∧ m≧1
となるような自然数 m が幾つあるか、というのが、S(k)≧j となるカードの枚数に他なりません。この式を(kを消去して)整理してみれば
1≦ m ≦ 3^(n-j)
です。これが成り立つ自然数 m の個数です。だから S(k)≧j となるカード は(3^(n-j))枚だと分かります。
● では、k = 1~3^n が書いてあるカードが1枚ずつあるとき、S(k)=j となるカードは何枚あるか。これを計算するには「S(k)≧jであって、しかもS(k)≧j+1ではないようなカード」の枚数を数えます。
ここで、S(k)≧j+1であるカードは全部、S(k)≧jであるカードの中に含まれています。ですから、S(k)≧j のカードは (3^(n-j)) 枚あるけれど、そのうちS(k)≧j +1のカードが (3^(n-(j+1))) 枚あって、これらは除かねばなりません。
よって、S(k)=j であるカードは (3^(n-j)) - (3^(n-j-1)) 枚です。
No.2
- 回答日時:
補足です。
(X,Y)=(1,3^n)(3,3^(n-1))・・・(3^n,1)
の、例えば、(3,3^(n-1))は、素因数分解したばあいに、3の倍数を1個もつ整数と3の倍数をn-1個持つ整数の組み合わせの数です。
3の倍数をn-1個持つ整数は、3^(n-1)おきにあらわれることを考慮すれば出るかと思います。
No.1
- 回答日時:
Aは、(X,Y)=(1,3^n)(3,3^n-1)・・・(3^n,1)ですね、ただし、(1,3^n)と(3^n,1)等は重複になりますので、これを考慮しないといけません。
つぎに、「Yは3^jで割り切れるが3^(j+1)では割り切れない」は、(1,3^j)(3,3^j-1)・・・(3^j,1)(重複は省く)
ではないですか?
例えば、
(1,3^(j+1))(3,3^(j+1)-1)・・・(3^(j+1),1)
は、「Yは3^jでも3^(j+1)でも割り切れる」で条件に合致しません。
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