連結とHausdorffについて

宜しくお願い致します。

『(X,T)を位相空間とする。
∃G1,G2∈T such that X=G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Xは非連結であるという』
と載ってましたので
『(X,T)を位相空間とする。
∀G1,G2∈T、X≠G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Xは連結であるという』
が連結の定義かと思います。
よってこれからXの部分集合での連結の定義は
『(X,T)を位相空間とする。
φ≠A⊂Xにおいても位相空間がとれ、その位相をTaとすると
∀G1,G2∈Ta、A≠G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Aは連結であるという』
だと思います。
間違ってましたらご指摘ください。

また、Hausdorff空間の定義は
『位相空間Xとし、X∋∀x,y:distinctにおいて
X⊃∃Ux,Uy:近傍 such that x∈Ux,y∈Uy,Ux∩Uy=φ
の時、XはHausdorff空間をなす』
だと思います。

Xを位相空間とし、φ≠A,B,C⊂X(但し、A⊂B⊂CでAはBの真部分集合でBはCの真部分集合)とする。
このとき、
「AとCが連結ならばBは連結になる」が偽。
と
「AとCがHausdorffならばBもHausdorffになる」が偽
を示したいのですが
それぞれの反例として何が挙げれますでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/10/26 01:21

A1です。

間違えました。C＝{0,1,2},T={φ,{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}}
は開集合系の定義をみたしていません。
{0,1}∩{1,2}={1}が開集合系に入っていません。
外の例を考えてみましたがちょっと思いつきませんでした。
思いついたら回答します。

No.1 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/10/24 16:03

「AとCが連結ならばBは連結になる」が偽。

この場合はC=R^2(Euclid空間）、A={(x,y)|x^2+y^2<1},B=Aおよび{(x,y)|
(x-2)^2+y^2<1}とします。
このときA,Cは連結ですが、Bは非連結です。{(x,y)|x^2+y^2<1}と
｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}に分かれるからです。
「AとCがHausdorffならばBもHausdorffになる」が偽
これはC＝{0,1,2},T={φ,{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}}とおくと
Tは開集合系の定義を満たしています。
A={0},B={1,2}とおきます。TA=｛φ、{0}｝、TB={φ,{0},{0,1}｝となりま
す。A,Cはハウスドルフですが、Bはちがいます。０と１を分離できません。

この回答へのお礼

有り難うございます。

> 「AとCが連結ならばBは連結になる」が偽。
> この場合はC=R^2(Euclid空間）、A={(x,y)|x^2+y^2<1},B=A∪{(x,y)|
> (x-2)^2+y^2<1}とします。
> このときA,Cは連結ですが、Bは非連結です。{(x,y)|x^2+y^2<1}と
> ｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}に分かれるからです。
{(x,y)|x^2+y^2<1},｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}∈T_B (T_B:Bの位相)
で、この場合は
B={(x,y)|x^2+y^2<1}∪｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}
({(x,y)|x^2+y^2<1}∩｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}=φ)
とできる
即ち、
『(X,T)を位相空間とする。
∃G1,G2∈T such that X=G1∪G2,G1∩G2=φ
の時、Xは非連結であるという』
のG1,G2として
G1={(x,y)|x^2+y^2<1},
G2=｛(x,y)|(x-2)^2+y^2<1}
が採れるから、Bは非連結という訳ですね。

> 「AとCがHausdorffならばBもHausdorffになる」が偽
> これはC＝{0,1,2},T={φ,{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2}}とおくと
> Tは開集合系の定義を満たしています。
> A={0},B={1,2}とおきます。TA=｛φ、{0}｝、TB={φ,{0},{0,1}｝となりま
> す。A,Cはハウスドルフですが、
えーと、Aは一点集合だから
x,y:distinct∈A なるx,yが採れないのにどうしてAはHausdorffと言えるのでしょうか?

Cについては例えば
0,1∈Cを採ると0∈{0},1∈{1,2} ({0}∩{1,2}=φ)という近傍が採れますね。

>Bはちがいます。０と１を分離できません。
B={1,2}ではなくB={0,1}の間違いですかね。
もし、
TB={φ,{0},{0,1}｝ではなく、
TB={φ,{0},{1},{0,1}｝
として位相Bを定めればBはHaurdorffとなるのですね。

お礼日時：2006/10/25 14:15