じゃんけんの勝率

じゃんけんの勝率は何ですか？？？

No.10 回答者： tgb 回答日時： 2002/05/04 15:09

　ANo.#9のコメントがありましたので、補足したいと思います。

　参加者が１回だけの手で行うじゃんけんを１手のみのじゃんけん、１手のみじゃんけんを勝ち組と負け組が決まるまで行う場合を１セットのじゃんけん、勝者が１人になるまで１セットじゃんけんを行う場合を１人勝ちのじゃんけんと言うことにします。
　上の１人勝ちじゃんけんの場合で、１セットじゃんけんを行って勝者が複数になった場合にあいことしてじゃんけんを進めることはなく、１セットじゃんけんの敗者は除いて、改めて勝者のみが次の１セットじゃんけんを行うものとします。（敗者を残すのは最終的な決定を行う上で非効率的でこのようなことが行われることはないと思いますので）
　１人勝ちじゃんけんで勝つ確率ですが、この場合は明らかに私がANo.#8で考えたような１セットじゃんけんとは異なり、人数が増えると勝つ確率は減少することになると思います。最終的に１人のみが勝ち残り、そのチャンスはどの参加者にとっても同じ確率になることとあいこがないと言うことになるので勝つ確率は参加者をｎ人とすれば１／ｎになることが途中の経過を考えなくても分かると思います。
　途中の状態も考えた場合はだいぶ煩雑になると思います。他によい方法があるかも知れませんが、考え方だけ簡単に説明してみます。（以下でC(n,m)は組み合わせの場合の数を示す式です）

（１）ｎ人で１手のみじゃんけんを行うとき、
（１ａ）m人が勝つ確率：r(n,m)
　　１人で（自分のみが）勝つ確率はC(n-1,0)/3^(n-1)
　　２人で．．．．．
　となり、
　ｍ人（自分以外のm-1人も含めて）では、勝つ確率は
　　　　r(n,m)=C(n-1,m-1)/3^(n-1)
　となります。
（１ｂ）あいこになる確率：e(n)
　　あいこになる確率は
　・１人から（ｎ－１）人で勝つ場合、
　　同じく
　・１人からｎ人で負ける場合
　を差し引いて求めます。（１ａ）で求めた人数分（m=1,...,n-1)を
　合計して、　勝つ場合を求め、これが負ける場合の確率と等しくなる
　ことを考えに入れると、
　　e(n)=1-2・r(n)
　　　　ここでr(n)=r(n,1)+・・・・+r(n,n-1)
　と求まります。（r(n)とr(n,m)の区別に注意）
（２）次に１セットじゃんけんを考えます。
　１回の１セットじゃんけんでｍ人が勝ち残る確率は
　　　　r(n,m)
　２回では
　　　　e(n)・r(n,m)
　３回では
　　　　e(n)^2・r(n,m)
　４回では・・・
　と計算して合計すれば最終的にｍ人が勝ち残る確率は
　　　　s(n,m)=r(n,m)/(1-e(n))=r(n,m)/r(n)/2
（３）最後に１勝ちじゃんけんを考えます。
　ｎ人で一人勝ちじゃんけんをして勝つ確率をt(n)とします。１人勝ちじゃんけんを行うため先ず、１セットじゃんけんを行います。この時、１セットじゃんけんを行ってｍ人が勝ち残ったとすると、その後はｍ人で１人勝ちじゃんけんをする事になります。従って、この場合の勝つ確率は
　　s(n,m)・t(m)
となります。１回目の1セットじゃんけんで勝ち残るのは
１人の場合、２人の場合、．．．．と場合分けできますので、結局
　　t(n)=s(n,1)・t(1)+s(n,2)・t(2)+.....+s(n,n-1)・t(n-1)
となってt(n)を求めるための漸化式が求まります。これを使ってｎ人（ｎ≧３）の場合の勝つ確率が計算できます。（ｎ≦２の場合はC(n,m)のmの値の関係で式が適用できませんのでt(2)=1/2であることを別途確認する必要があります。）

　n=3,4についてt(n)が1/3、1/4になることを確認しましたが最終的にt(n)=1/nになることは私は確認・証明していませんので、お断りしておきます。
　別の解法として組み合わせの数を列挙して考える方法もあるかと思いますが煩雑になるのではないかと思います。（いずれにしても最初に述べた考え方がスマートで間違えない方法だと思います。）


　最後にじゃんけんについての定義ですが、上で言う１セットじゃんけんが珍しいじゃんけんの定義で１勝ちじゃんけんが一般的というのは当たっていないのではないかと思います。
　１セットじゃんけんが一般的で１人勝ちが珍しいなどと言うつもりはありませんが、少なくとも両者とも当たり前に使われ、それほど厳密に区別して１人勝ちまで進まないのは特殊だなどと言われることはないと考えます。敢えて言うなら、大勢から１人を決めるという必要性よりは２人以上の何人かを残すと言う必要性の方が多いと思います。例えば５人の仲間がいて箱の中にキャラメルが３個しかなかったと分かった場合、仲良く平等に分けるのにじゃんけんで勝った人が食べられることにしようと決まった場合、１回目で（１セットじゃんけんで）２人が勝ち残った場合、その２人はキャラメルを食べることのできる勝者として確定し、残りの１個については負けた３人でもう一度じゃんけんをして決めると言うようにすると思います。この場合、１回目の１セットじゃんけんは１セットじゃんけんで完結しており、残った１個の権利者を決めるための２回目以降のじゃんけんとは別のじゃんけんと考えられると思います。こう言ったケースは日常で頻繁に出てくるのではないでしょうか？

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:04

No.9 回答者： acacia7 回答日時： 2002/05/03 22:53

No.8の解答の注意点。

No.8の勝率とは１発勝負で「勝ち組と負け組」にわける場合の勝ち組にはいる確率です。通常の多人数でのじゃんけんは勝者をひとり決定する場合が多く、No.8の定義は珍しいと思います。

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:04

No.8 回答者： tgb 回答日時： 2002/05/02 10:49

　３人以上になっても最終的に勝つ確率は１／２で変わらないようです。

　１回のじゃんけんで勝つ確率と負ける確率は人数が増えても同じであろうと推測されます。すると勝つ確率をｒとすると、負ける確率もｒで、あいこになる確率をｅとするとｅ＝１－２・ｒとなります。そこで決着が付くまでじゃんけんを続けたとすると、決着時に勝つ確率Ｒは
Ｒ＝ｒ＋ｅ・ｒ＋ｅ・ｅ・ｒ＋　．．．．．
　＝ｒ／（１－ｅ）
　＝ｒ／（１－（１－２・ｒ））
　＝ｒ／（２・ｒ）
　＝１／２

　そこで、１回のじゃんけんで勝つ確率を求め、また勝つ確率と負ける確率が等しいことを確認しておきたいと思います。
　３つの手を　Ｇ：ぐー、Ｃ：ちょき、Ｐ：ぱー　とします。２人の場合、あいこは２人が同じ手を出した場合になりますが３人以上の場合のあいこは、
・全員が同じ手を出した場合
の他に
・３つの手が出そろった場合
も加わります。
　ある人Ａが（ｎ－１）人の人と一緒にｎ人でじゃんけんを１回行うとします。対称性からＡがＧ、Ｃ、Ｐのいずれの手を出しても勝つ確率は同じでＡがＧの手を出した場合の確率を求めてもそのままじゃんけんでＡが勝つ確率としてよいと思います。
０）全体の手の場合の数
　（ｎ－１）人全体の手の場合の数は3^(n-1)通りです。
１）Ａが勝つ「場合の数」・確率
　勝つためには先ずＰがいないことが条件です。従って、相手の（ｎ－１）人全員の手がＧかＣで、かつ全員がＧになってあいこになることがなければＯＫと言うことになります。（この場合、ＧＣＰによるあいこは自動的に除かれていることになります）
　そこでn=5の場合を例として相手（(n-1)人）の手を列挙すると
　ＧＧＧＰ（Ｐを出す人が１人）　どの人がＰになるかでC(4,1)通り
　ＧＧＰＰ（〃　　　　　２人）　〃　　　　　　　　　C(4,2)
　ＧＰＰＰ（〃　　　　　３人）　〃　　　　　　　　　C(4,3)
　ＰＰＰＰ（〃　　　　　４人）　〃　　　　　　　　　C(4,4)
従って、勝つ場合の数は合計で
　C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)+C(4,4)
一般に(n-1)人の場合、勝つ「場合の数」の合計は
　C(n-1,1)+C(n-1,2)+・・・・・・・+C(n-1,n-1)＝２^(n-1)-1
従って勝つ確率は
　r＝(２^(n-1)-1)/3^(n-1)
２）Ａが負ける「場合の数」・確率
　負けるためにはＣの人がいないことが条件です。（もしいた場合、相手全員がＣなら自分の勝ちとなってしまいます。また、Ｃ以外の人もいてそれがＧのみならやはりその人も含めて自分の勝ちとなり、Ｃ以外にＰの人がいたとすると３手全てがそろってあいことなってしまいます。）従って、相手の（ｎ－１）人全員の手がＧかＰで、かつ全員がＧになってあいこになることがなければＯＫと言うことになります。これは１）でＣをＰに置き換えるだけで後は全て同じになっています。手の対称性からこれは１）の手の場合の数と同じになります。従って負ける確率と勝つ確率は等しくなります。

　あとは最初に戻って決着が付くまでじゃんけんをする場合の勝つ確率を求めることができます。
　人数が増えた場合、勝つ確率が減ると同時に負ける確率も同じように減り、あいこになる確率が増えることになります。結局決着が付くまでじゃんけんをすると人数に拘わらず、勝ち負けの確率は１／２ずつで等しくなると言うことです。直観的に考えた場合、相手が増えて負ける確率が増えると思えるかも知れませんが、よく考えてみると、（これも直観的に考えて言えることですが）もし人数が増えることによって自分が負けやすくなるとすると相手の一人ひとりについてもこのことが当てはまり、全員が負けやすくなることになりますが、これは大勢でじゃんけんをした場合、ぐーで勝ったとするとぐーの人が少なくちょきが多くなる傾向が出ることになりおかしいと感じるのではないでしょうか。やはり直観的にも大勢でじゃんけんした場合はあいこになる確率が増えるものの、勝つ人・負ける人は何回も行った場合平均して半々と言うことで１人ひとりについての勝敗の確率も１／２で半々と言うのが納得できるところだろうと思います。

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:04

No.7 回答者： love3factory 回答日時： 2002/04/30 12:07

２人で対戦した場合、１回勝負で勝つ確率は３分の１です。

相手が何を出したかに関係なく、自分がそれに対して
　　勝つ確率＝１／３、負ける確率＝１／３、あいこの確率＝１／３
になります。

これをもとに、あいこなら再勝負して決着がつくまでやった場合を求めます。
１回目の勝負で勝つ確率は、上記の通り１／３です。
２回目の勝負で勝つ確率はどのように求めるかというと、
　　（１回目があいこの確率）×（２回目で勝つ確率）
になりますから、
　　（１／３）×（１／３）＝（１／３）＾２　（←「２乗」です）
ということになりますね。
３回目の勝負で勝つ確率は、
　　（１回目があいこ）×（２回目があいこ）×（３回目で勝つ）
　＝（１／３）×（１／３）×（１／３）＝（１／３）＾３

以下、４回目の確率、５回目の確率…と無限に続きますから、
　　1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4 + (1/3)^5 + ……
という感じになります。
このような無限に続く値の合計を計算する公式（証明は省きます）で
　　ｅ／（１－ｅ）　（ただし０＜ｅ＜１のとき）
というのがありますので、これにｅ＝１／３をあてはめてみますと
答えは「１／２」になります。

計算の過程は難しいですが、２人が同じ条件でどちらかが必ず勝つなら
その確率は結局「２分の１」という、当たり前の結果になるわけですね(笑)

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:03

No.6 回答者： ADEMU 回答日時： 2002/04/30 09:22

じゃんけんは人数によっても勝率は変わってくるのではないでしょうか。

つまり、じゃんけんでその人が勝つ確率は常に１／（人数）ではないでしょうか。
みなさんのいっているのは一回で、２人で勝負したときの勝つ確率ではないでしょうか。
問題が不適切です。（条件がなさすぎます）

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:03

No.5 回答者： blackleon 回答日時： 2002/04/29 22:25

二人で勝負をしたとき、一回勝負で勝つ確率は1/3です。

あいこ無しで勝負がつくまでじゃんけんを繰り返すとき、勝つ確率は

1/3+1/(3＾2)+1/(3^3)+1/(3^4)+・・・・・＝1/2です。

この式の意味は、最初の1/3は、一回目に勝つ確率、２番目の1/(3＾2)は一回目あいこで２回目に勝つ確率、３番目の1/(3^3)は２回目まであいこで３回目に勝つ確率、４番目の1/(3^4)は３回目まであいこで４回目に勝つ確率・・・・・です。

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:03

No.4 回答者： acacia7 回答日時： 2002/04/29 22:13

「最初はグ?」の場合は顕著らしいですが、

グ?、パー、チョキの順に出しやすいらしいです。（素）

で、今までにないパターンの解答としましては、
「じゃんけんの勝率」とは、
「じゃんけんという二者による手の選択試行が行われた事象のうち、
主体の手に対し、他者が＜負け＞の手を選択する確率」を言います。
よって、他者が対等な手＜あいこ＞や優位手＜勝ち＞を選択した場合はのぞかれます。

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:03

No.3 回答者： noname#4751 回答日時： 2002/04/29 22:01

勝率というか、勝つ確率ですよね？

うーん・・・数学苦手なんですが、たしか三分の一じゃなかったかな？
自分がグー、チョキ、パーをだしたときにそれぞれ勝てるのが三分の一ずつだし・・・
参考までにURL添付しております。私も勉強してきます。

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3p03.htm

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:02

No.2 回答者： kanten 回答日時： 2002/04/29 21:54

普通に考えると勝つ確率も負ける確率もあいこになる確率も

３３．３３３３３３３・・・％ですよね。
しかし、人によってはよく出す手もありますから、
各人によって微妙に違うでしょうね。勝率は。

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:02

No.1 回答者： Namidabana 回答日時： 2002/04/29 21:52

数学的になら３分の１なのでは？？

でも実際は・・・(^_^;)

この回答へのお礼

お礼遅れてすいません<(_ _)>
回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/19 13:02