極座標を用いた重積分

∬Ddxdy/(x^2+y^2)^m　D:a^2≦x^2+y^2≦4a^2

という問題なのですが、
m=1のとき答えが2πlog2になるのですが、

x=rcosθ
y=rsinθ

とおくとm=1のとき分母は1/r^2になると思うので、
積分してもlogはでてこないとおもうんです。

どこが違うのか自分でもわからなく、
どなたか解き方を教えてくれないでしょうか。
どうぞよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alkantala 回答日時： 2007/01/09 00:01

極座標に変換したとき

dxdy は rdrdθ に変わりますから
dxdy/(x^2+y^2) → rdrdθ/r^2=drdθ/r
となって1/rの積分からlogが出てきます。

極座標変換に限らず、重積分の変数変換の場合は
dxdy がどう変わるかにも注意が必要です。