A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、というのは、妥当という言葉の定義からして、
A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である。(結論がCで無くなるような場合、すなわち反例は存在しない)という事だ。
ここで、
(A1∧A2・・・)⇒C
という論理式を見てみる。この論理式がトートロジーになる場合というのは、真理値分析してみて、
(A1∧A2・・・)が真の時、Cがすべて真
になっていればよい。
そして(A1∧A2・・・)が真の時、というのは、
A1、A2、・・・がすべて真であるとき、
である。つまり、
A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真
という条件がそろえば、論理式(A1∧A2・・・)⇒Cはトートロジーである。
ここで、先ほどの、論証が妥当であるための条件、を見てみると、
A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である、
という風になっている。これはまさに、(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであるための条件である。
成り立つ条件が同じであるから、
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当であれば、(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであり、
(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであれば、A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である。
といえる。
また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、という事と、
(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーである、という事は、同じ事を意味している。
といえる。
かくして、論証の妥当性とトートロジーという概念がつながった。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
論証の妥当性とトートロジーの関係は、以上のようなもので、問題ないのでしょうか。
下から4行目、成り立つ条件が同じならば論理的には同じ意味になる、というところが、
なんとなく引っかかるのですが、そういうものなんでしょうか。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
ちょっと、的外しましたね、失礼しました。
トートロジーとは、原子式にどのような値を入れても常に結果が1となるような関数のことだそうです。
例えば、P∨¬Pという式を真理値分析してみると、次のようになります。
P ¬P P∨¬P
1 0 1
0 1 1
仮に、Pを「マオは犬である」という命題であるとします。
すると、P∨¬Pは「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」という命題になります。
このような命題はトートロジーですが、トートロジーは命題論理において「論理的真理」とされています。
しかし、ここで真理であるというのはトートロジーが世界の絶対的な真理について述べているからではなく、
逆に、世界の在り方について何も言及していないからに他なりません。
(慶応大学 論理学の基礎ページを参考)
「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」
論理学では上記がトートロジーになるとの事ですが、ちょっと不思議ですね。
ただ、A1・A2・A3・・・・Anと続くと
「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」「マオは猿であるか、猿でないかのどちらかである」・・
「マオは存在であるか、存在でないかのどちらかである」
Anが無限に続くと、トートロジーが矛盾式にならないのかな?
勉強になりました。もう判らないから、これで勘弁してね(笑。
No.3
- 回答日時:
どうもトートロジーの定義が違うような。
トートロジーとは論理式の要素が真であろうが偽であろうが、全体としては必ず真となる論理式をいいます。たとえば、
排中律(p∪~p)
「アメリカの大統領はクリントンか、あるいはクリントンでないかのいずれかである」
交換律(p∪q≡q∪p)
つまり、トートロジーの議論において、
>A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、
ということ自体がナンセンスです。
この回答への補足
はて、Piedpipingさんは、原子式(論理式の要素)と前提A1、A2・・を同じものと捉えておられるのではないでしょうか。
上の質問の、(A1∧A2・・・)⇒Cという論理式のA1とかA2というのは、任意の論理式を意味しており、原子式(論理式の要素)とは限りません。
これをふまえまして上述の
「A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真になる。」
という条件がそろえば、(A1∧A2・・・)⇒Cはトートロジーである。
という部分をもっと細かく書きますと、
「(A1∧A2・・・)⇒Cという論理式を構成する原子式(論理式の要素)の真偽がどのようになろうとも、(前提をあらわす任意の論理式)A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真になる。」
という条件がそろえば、A1∧A2・・・)⇒Cはトートロジーである。
という事なのです。これなら別にナンセンスではないと思います。
No.2
- 回答日時:
ひとつの論理体系(例えばペアノの公理系)のようなものを考えた時に、トートロジーというのは「n = 1 -> n^2 = 1」のように、論理体系の「中の」ことがらです。
対して、論証の妥当性とはその論理体系(同じくペアノの公理系のようなもの)においてどのような推論を許すか(例えば三段論法はオーケー)という「外の」規定です。
論理体系にはいくつかの公理系があり、それらはいくつかのトートロジーから構成されていて、許された妥当な論証で得られる命題もまたトートロジーになることが要求されます。それが「妥当」の意味。
公理系から妥当な論証を経ても「全ての」トートロジーには辿り着けないというのがゲーデルの不完全性定理。
。。。。だったと思う。(急に弱気)
この回答への補足
残念ながら私にはよくわかりませんでした。上の質問は、命題論理においての話です。命題論理では、論証の妥当性とトートロジーは本質的に同じ概念だそうですが、その理解として、上のような理解の仕方であっているか、という質問でした。
補足日時:2007/03/04 13:00No.1
- 回答日時:
不思議な質問ですね。
単純に考えると、詭弁の一種でしょうか。
水素2と酸素1が有れば、水になる。
で、これを記号にすると
H×2+O×1=HHO=水
要素に分解すると、全て同じですから、トートロジーかも、
ただ、水素二つと、酸素一つが、独立に有れば、水とは違いますよね。
原因と結果の要素を同時に並べているだけで、過程を無視しているのかも。
>また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、
水は摂氏100度で沸騰する。
この命題も、気圧の条件により、一気圧の下で真ですが、
条件が同じとは、ここでも、過程を無視している、
気圧は、960ミリバールから、1020ミリバールと常に変化している。
ちょっと、的外れかも、、失礼しました。
まぁ、誘い水と言う事で、お手柔らかに(笑。
この回答への補足
ちょっとよくわからなかったのですが、トートロジーという言葉の使い方が、私の理解と違うかもしれません。
また上の質問は、命題論理で、論証の妥当性とトートロジーは本質的に同じ概念だそうですが、その理解として、上のような理解の仕方であっているか、という事を聞きたかったのです。
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