量子力学 測定値のばらつきについて

量子力学において、物理量は観測されるたびに測定値がばらつくといううことが知られている。
そこでその平均値を<L>とし、測定値の分散を(δ<L>)^2とするとき、分散に対応する演算子は(δL)^2=(L-<L>)^2で与えられる。
したがって分散は、(δ<L>)^2=∫ψ*(δL)^2ψdVによって求められる。
(１)このとき、分散が正であることをδLのエルミート性より導け。
(２)分散がゼロにあるような状態ψLにおける固有値方程式を導け。

以上の様な問題を解こうと考えていたのですが、回答の糸口がつかめなくて困っています。自分としては、エルミート演算子を２乗した演算子から与えられる期待値は非負であることを示せれば良いと思ったのですが、それを示せず四苦八苦している状況です・・・。どなたか解法をご教授いただけないでしょうか。。。お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： 991108 回答日時： 2007/03/19 20:08

ちょっと（２）は自信ありませんが、

（１）は簡単だと思います。

(δＬ)^†＝Ｌ－＜Ｌ＞＝δＬ
（Ｌはエルミートなので、Ｌ^†=Ｌ）
なので、δＬはエルミートである。
エルミート演算子δＬの固有方程式を、
以下のように定義する。
δＬ |ψ>＝δl |ψ>
δlは、δＬの固有値なので実数である。
ここでδlは、ゼロでないと仮定する。
よって、
(δＬ)^2 |ψ>＝(δl)^2 |ψ>
だから分散(δＬ)^2の固有値は、常に正である。

（２）δl＝０ の固有方程式だから、分散の
固有方程式は
(δＬ) |ψ_L>＝０
L|ψ_L>=<L>|ψ_L>
これはＬの固有方程式である。

すなわち分散がゼロになるような状態とは、
分散の固有ベクトル|ψ_L>と、測定値演算子Ｌの
固有ベクトル|Φ>が一致するときである。
（L|Φ>=<L>|Φ>）

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2007/03/19 20:47

(1)

ブラケットを使って書けば、証明すべきことは、
<ψ|(δL)^2|ψ>≧0
ですね。エルミート演算子の定義を使うと、左辺はあるベクトルのノルム(の2乗)になります。(ブラケットを使わずに、積分のまま計算すると、被積分関数が|f|^2の形になります)

(2)
分散がゼロというのは、上の不等式において、等号が成り立つ場合のことです。(1)ができれば簡単でしょう。

No.3 回答者： connykelly 回答日時： 2007/03/21 17:11

以下は補足の追記みたいなものです。

吟味ください。
(1)
>δLのエルミート性
δLをエルミート演算子とすると、その固有値(λ)は実数となりますね。つまり固有関数をφとするとδL|φ>=λ|φ>。問題の<φ|δL^2|φ>は<φ|δL・δL|φ>=λ<φ|δL|φ>=λ^2<φ|φ>≧0となるのではないでしょうか。
(2)左右から挟む波動関数を省略して書きますと
<(δL)^2>=<(L-<L>)^2>　(ここで<L>は平均値という"値"であることに注意。被積分関数とはなりません）
=<L^2>-2<L><L>+<L>^2=<L^2>-<L>^2=0
平均値<L>=Aとすると<L^2>=A^2とならなければならないので、分散が0ということは次の固有方程式L|ψ>=A|ψ>ということになりますね。