コンプリートするには平均して何個買えばいい？

ふと思いついただけの問題なのでわかる人にはつまらない問題かもしれませんが… (その２)

あるジュースのおまけにサーカー選手のフィギュアがつくことになりました。
おまけは全部でｎ種類ありますが、買ってくるまで何が入っているかはわかりません。
また、フィギュアの出現確率はどれも同じです。

さて、このジュースを１本１本買ってきて、全種類コンプリートを目指します試みを
みんなで行うわけです。運がよければ最低２０本買えばコンプリートできますが、
平均すると、何本買わないとコンプリートできないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： queschan 回答日時： 2002/06/08 14:49

まず、k個持っている状態から新しい１個手に入れるのに

何本買わないといけないかの期待値を求めます。

ｘ回で新しいものが手に入る確率は
　(k/n)^(x-1)*(n-k)/n
なので、期待値 E_k は
　E_k = (n-k)/n*Σx(k/n)^(x-1)　　　　　　（Σは 1≦x＜∞ の範囲での和）
　　　= (n-k)/n*{1-(k/n)}^(-2)
　　　= n/(n-k)
となります。

したがって、全部そろうまでに買わなければならない個数の期待値は
　ΣE_k = nΣ(n-k)^(-1)　　　（0≦k≦n-1）
　　　　= nΣ(1/k)　　　　　　（1≦k≦n に逆から番号付け替え）
となります。
具体的には、n=20 のとき
　20*(1 + 1/2 + … + 1/20) = 71.95
と kony0 さんの結果と一致しました。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2002/06/08 12:45

x本買ったところで、おまけがy種類ある確率をp(y:x)と書くことにします。

p(1:1)=1, p(y:1)=0(yが1以外のとき）
p(1:x)=(1/n)^(x-1)
p(y:x)=p(y-1:x-1)*(n-y+1)/n + p(y:x-1)*y/n (for 2<=y<=n, x>=2)

求める平均は、Σ_(x>=n) x*{p(n-1:x-1)*1/n}

ここからは式解けなかったので(^^;)n=20としてExcelさんのお世話になってみました。
そうすると、平均は71.95本、
また何本目でcompleteするかのモード（最頻値）は60本となるようです。