平均年齢の計算

Question

年齢を訊かれた時に、四捨五入(182捨183入?)して答える人は少なく満年齢で答えることが一般的だと思います。
それを前提に考えると、次の事実は正しい(と考えられる)でしょうか?
もし正しいとした場合、一般的な統計調査ではどうなっているのでしょうか?

1.「自分の年齢は33歳」と答えた集団の平均年齢は約33.5歳
2.「自分の年齢が30歳」と答えた人が50人、「自分の年齢が34歳」と答えた人が50人いるような100人の集団の平均年齢は32.5歳

noname#19838 · Accepted Answer

＞「一般に、満年齢で調査した時は平均年齢を小数で表し、
 何歳何ヶ月まで回答させた時は平均年齢も何歳何ヶ月という形で表す。後者の形式で表記したいなら、前者の値に0.5を足してから行うべきである。」

ほぼ正解だと思います。ただ、No.11で書いた「小数点以下は整数部分から月数が超えていることを意味するわけではない」ということも踏まえていただければ幸いです。

たとえば満年齢平均32.1歳という数字が出たとします。これは書いたように、究極的に32歳が9人と33歳が1人の集団です。そして、この集団の誕生日が一様であると認識して初めて、その平均は「32歳7ヵ月と1週間」と変換できます。ですから、「平均は32.1歳」を、その蓋然性の高さを踏まえた上で「平均は32歳7ヵ月」と発表するのは近似的に間違ってはいないでしょう。

ただし、これを「32.6歳」として発表するのは×です。これだと「究極は32歳2人と33歳3人の集団」という調査結果に変えてしまうことになりますから……うーん、ただし、「小数点以下が月に対応するように補正しました、平均は32.6歳です」と発表すれば、とりあえず32.6歳という数字を使っても間違いではないのでしょうが、これはつまり「変換作業を行った」と同義であり、小数点以下の意味合いが元の調査とは変質しています（究極的な集団の割合を示すものから、月まで含めた歳の細分を示すものへ）。それだったら32歳7ヵ月と書いた方が親切かと。


質問者様のご意見をふまえて、わたしの結論としてはこうです。
・満年齢の調査なら、32.1歳と発表することは純粋に計算結果を示すことであり、それはそれで意味がある（そもそもこの数値がなければ変換もできない）。
・質問者様のように補正すべきと考え、そうしたのなら、「補正しました」と書いた上で、32歳7ヵ月と発表すればよい。小数点以下の意味を明記した上で32.6歳としても間違いではないが、不親切。
・なにも書いていなければおそらく満年齢調査だと考えられるので、結果を見る側がもっと細かく知りたいのならば、発表された数値を変換する（誕生日が一様ならば、発表数値に0.5を足して月変換すればそれなりに近い数字が出ると思われる）。
・おそらく最も親切なのは、「満年齢の相加平均は32.1歳です、これは誕生日の分布を勘案すると32歳7ヵ月1週間に相当すると言えます」という発表。


そして最終的に、

＞ 「TV局や新聞社がどうやって発表するかまで、統計する側では制御できない」と言うのであれば、統計する段階で何らかの配慮(0.5をプラスするなど)を行うべきなのではないかと思うのですが、どうやっているのでしょうか?

という質問に対しては、「どうやっている」どころか、おそらくそのような配慮は「なにも」しておらず、満年齢をぜんぶ足して、総数で割った数字を発表しているだけでしょう（やっているなら質問者様も私も目にしているはずです）。だからそれを知らされるこちら側がもっと細かく知りたいのなら、変換する必要があります、ということになります。

noname#19838 · Answer

＞統計作業は「満年齢で考える前提が置かれている」ではなく「満年齢までしか回答させていない」と

いうことではないのでしょうか?

その通りと言えるでしょう。だから「結果を見る側」も「満年齢」で考え「なくてはならない」んです

。


＞言わば「切捨てした値でしか表示できない測定器」のようなものであり、
＞測定の結果「32」と表示された物の平均は32.5と考えるのが妥当ではないのでしょうか?

なるほど、おっしゃりたいことが分かってきました。ではそういうデジタル温度計で水温を測ってみましょう。40000個のビーカーの水を測定すると、それぞれ10000個ずつ４℃、６℃、７℃、８℃と出ました。平均は6.25℃です。「この測定で言えること」は、「６℃のビーカーはすべて平均より冷たい」ということです。「６℃のビーカーには6.0℃も6.9℃もあるかもしれない、しかし６℃として扱ったときの平均」ですから。ところが突然0.1℃単位の温度計を持った人が現れて６℃のビーカーのうちふたつを測り、「このビーカーは6.7℃、こっちは6.8℃だ。だからこのふたつは平均より熱いんだ」と言いだしました。この「0.1℃単位の温度計を持った人」が質問者さまです。

これらのの水が本当に平均より熱いかどうかは、「実際に0.1℃単位ですべてのビーカーの温度を測

る」（つまりｎ歳ｍヶ月まで調査する）か、あるいは「ビーカーの温度は0.1℃単位で一様に散らばっ

ていると仮定して計算し直す」（つまり誕生日分布をもとに計算する）かしかありません。ここで質問者さまは散らばっていると仮定して計算することを選びました。平均は6.74995℃のようです。ここにおいて「初めて」、6.7℃は平均より冷たく、6.8℃は熱いことが判明しました。

満年齢の場合も同じです。満年齢をもとにして平均年齢が32.1歳になったとき、「この段階」では32歳０ヶ月も32歳11ヶ月も32歳として扱われます（切り捨てた値の測定）から、32歳11ヶ月は「平均よりも年下」です。ただし、誕生日が一様に散らばっていると仮定した場合（より細かい測定の代わりに計算を行う）、「どうやら32歳７ヶ月１週間あたりがより細かい平均であるという蓋然性が高そうだ」となり、そこまで考えて「初めて」、「32歳11ヶ月は平均32.1歳より年上と考えるのが妥当かな」と言えるわけです（その意味ではNo.8の最後の段落は不正確でした。お詫びします）。

＞測定の結果「32」と表示された物の平均は32.5と考えるのが妥当ではないのでしょうか?

おっしゃるとおりです。サンプルが多数で一様な場合、確かに妥当性は存在すると思います。しかし、それを主張なさるなら、同時に「そのような細かい分析は予定されていない」という調査段階でのルールも受け入れてください。整数単位での調査なら整数単位で分析されるのです。No.12でも言われていますが、その下の単位の分析をしたいなら別のルールを導入する必要があり、「いきなり」「切り捨て平均32は実質32.5が妥当」とは、たとえそれが正解でも、最初のルールに存在していない以上言えません。なぜなら、そこでルールを飛び越してしまうと、0.01℃まで測れる温度計を持った人が現れて、「このビーカーは6.75℃だ」と言い、再計算の果てに0.001℃まで測れる人が現れ……と、下の単位へと際限なく広がっていくことを許してしまうからです。

調査には定められた単位のラインがあり、分析はそれにそって行う。そうであることと、質問者さまのおっしゃる「妥当」は別の次元に存在する、ということです。

proto · Answer

＞ちょうど平均年齢(満年齢を単純平均したもの)が32.1歳になるような9人の集団を考える。
＞ここに32歳11ヶ月のAさんが入り込み10人の集団を作る。
＞この集団を生年月日の古い順に5人ずつにわけ、年寄り組と、若者組に分けたとする。
＞このとき、Aさんが年寄り組にいる確率と、若者組にいる確率はどちらが大きいか?

満年齢で考えるという前提が置かれているならば、Aさんの年齢は32歳であってそれ以外ではあり得ないと思うんですが。
数学的に統計的にn歳mヶ月をn歳と扱うと決めてしまえば、比較するときにもn歳mヶ月をn歳としか扱えないんだから月まで考慮しての比較は出来ないと思います。
(平均の小数部まで考慮することは出来ますが、これは月とは別の考えですから)

32歳1ヶ月と32歳11ヶ月の二人でも、上の決まりに従って32歳と32歳の二人としてしまえば区別は出来ないし同い年でしかあり得ないと思います。
年齢を尋ねる際に月を考えないんだったら、0歳10ヶ月年上だと主張することには意味はありません、それは0歳年上だと言っているのと変わりません。

このことは月まで考慮するとか、四捨五入した年齢を考えるとか、別のルールにしてしまえばまた話は違ってくるでしょう。

noname#19838 · Answer

４度目、登場させていただきます。

＞そうなると「平均年齢32.1歳」の場合、32歳11ヶ月の人も「まだ平均より年下」ということになるでしょうか?

＞「調査された人は全て○歳11ヶ月である」というならまだしも「誕生日の分布は一様である」という仮定は不自然な仮定ではないと思うのですが、その仮定に基づくと「平均より年上」となってしまいます。なぜこのような結論の不一致が起こってしまうのでしょうか?

分かった！（ほんとかよ）

質問者様は、この平均32.x歳を「32歳を少し超えた『年齢である状態』」と見なしているのではないですか？（そう取ると再質問が腑に落ちるのです）　そうではないんです。調査を整数としているこの場合、たとえば32.1歳という平均は、「平均値に近い整数でもって『互いに素』になるまで均していくと、最終的に32歳が９人と33歳が１人の集団ができる」ということです。32.5歳なら最終的に32歳と33歳が１人ずつ。32.8歳なら最終的に32歳１人と33歳４人です。

最初に戻りますが、32.5歳が32歳６ヵ月を意味しないのはそういうことなんです。

さらにこれでどうでしょう。平均32.1歳というのは、「究極的」には「32歳が９人、33歳が１人の集団」であり、しかも「彼らの誕生日はランダム」なのです（＊）。その上、彼らは自分の年齢を申告するときに満年齢でやっており、さらにみんな月齢は気にしていません（満年齢で調査して月齢を切り捨てるとはそういうことです）。

この条件下において32歳11ヵ月の人が集団を見回します。すると、「同い年」が自分も含め９人いて、「１つ上」が１人いる。結果、「俺（わたし）は平均値32.1歳には届いていない！」となるではないですか（＊＊）。

この状態が拡大していったものが、「調査で得られた平均32.1歳なのです。前提段階で差異を持たせていないから、32歳11ヵ月と32歳０ヵ月は等価値であり、32歳11ヵ月も平均（32.1歳）より若いのです（＊＊＊）。

これ以上の説明を思い浮かぶ自信がないです（笑）。
いかがでしょう。

―――――――――――

（＊）これだと偏りが大きいですが、それは「究極的に縮めてしまった」からです。本来は母数が大きいので偏りはないはずです。もちろん結果はおなじです。


（＊＊）重ね重ね申し上げますが、ここで、「でもあんた32歳11ヵ月だよね」というのは反則です。この集団は満年齢で集めた集団であり、月齢は無視するという「前提」（質問者様のおっしゃる前提）があるのですから。前提にないものを結論部でだけ持ち出してはなりません。

（＊＊＊）それでもなお32歳11ヵ月が平均より若いかどうかを確かめたければ、「満年齢で集めた平均32.1歳の集団は、誕生日分布に従えば平均何歳何ヶ月に該当するか」を計算し、その数値と較べるしかないでしょう。これは「下位の単位」を付け加える作業であり、前提の変更になります（満年齢で答えるのが一般的→月齢で答える）。しかし調査したあとに前提を変えるなら最初からその前提（月齢）で調査すればいい、というのがNo.8の後半部分の趣旨です（たぶんNo.7のかたの温度計の話もそうではないでしょうか）。

――――――――――――

ところで、「月齢」という言葉を本来の用法とはかけ離れて使ってしまいましたが、「満年齢」と対比させる言葉が欲しかったためです。ツッコミはなしでお願いします（笑）。

noname#19838 · Answer

＞「結婚年齢は32.5歳」は「結婚平均年齢32.5歳」の誤りですが、それでも回答に違いはでないでしょうか?

はい、おなじです。私も平均年齢32.5歳と捉えていました。


＞この比較の計算手順を説明していただけないでしょうか?

計算と言うより考え方ですね。説明が難しい……。箇条書きにすると、こうかな。

・調査の段階で、32歳０ヶ月も32歳11ヶ月も「32歳」とする（32歳Ｘヶ月＝32歳）。
・よって、平均値32.5歳は「32歳ならそれより低く、33歳ならそれより高い」という「目安」を示す（32歳「６ヶ月」という下位の単位を含意するわけではない）。
・32<32.5<33（ただし、年齢は小数点以下を持ち得ない）
・最初のとおり、32歳Ｘヶ月＝32歳なので、Ｘがいくつであろうとも彼（女）は平均値より若い。
・誕生日を迎えると（概念の話なので、この年齢変化は調査結果に影響を及ぼさないとしてください）32歳Ｘヶ月→33歳Ｘヶ月になる。
・32<32.5<33なので、33歳Ｘヶ月は平均値より若くない。

どうでしょうか。質問者さまが何に引っかかっているのか、何となくは分かるのですが、その部分をどうもうまく説明できません。くどすぎて失礼な部分があったらお詫びします。

あるいは、極端に「月齢なんて存在しない！　32の次は33だ！」といちど割り切ってしまった方が話は早いのかもしれません。

noname#19838 · Answer

No.8です。

>満年齢で回答させた場合に平均年齢が32.5歳だったとき、何歳何ヶ月何日かまで回答させると平均年齢(月齢)が32歳6ヶ月になる(近い)という意味でしょうか?

すみません、自分でも送ってからバカだなと気づきました。ミスです。近づくわけがないですね。最初のご質問文にある、

1.「自分の年齢は33歳」と答えた集団の平均年齢は約33.5歳

というのが頭に残っていて、「誕生日が一様ならば、33歳の集団を月齢調査すれば平均33歳６ヶ月になりうる」というのは納得できるなと思っていたことが変な形で表出してしまいました。、その部分の具体的な数字は撤回します。言いたかったことはこんな感じです。

ある母集団において年齢だけを聞いたときに出てくる平均値は１つだけ（32.5歳としましょう）で、月齢まで聞いたときの平均値も１つだけ（33歳0.0ヶ月とします）ですよね。誕生日が一様で母集団が十分ならば、両者は近づいて、32.5歳（年齢調査）≒33歳0.0ヶ月（月齢調査）とは言えるでしょうが、その比較は計算の結果論であって、最初から意味として組み込まれているものではない、ということです。


＞＞しかしその仮定を置くことは、結局調査対象に月齢まで聞くのと同じです。
＞これはアンケートに回答してくれた人でなく母集団の誕生日分布を使うのが本来ではないのでしょうか?
それとも母集団の誕生日分布は、代用でしかないのでしょうか?

わかりにくかったかもしれませんね。これは実際にそうするかではなく、考え方の問題です。先の回答文「誕生日が一様に散らばっているという仮定の下」の部分を「誕生日分布をもとにして」と変えていただいても私の言いたいことは同じです。


最終的に……

>例えば学校で「テストの平均点は32.5点」と言われたとして、33点をとった生徒は一応ほっとできます。

に対してです。まず質問者さまご自身が「調査には満年齢で答えている（月齢を切り捨てている）」という前提を置いていらっしゃいますので、そこは動かしません。

ですので調査に対する回答は30歳、31歳、32歳……と返ってきます。中間はありません。その平均を求めてみたら、「結婚年齢32.5歳」と出た。ポイントは、先に書いたように調査の段階で中間がないことです。となれば結果にも中間を求められません。その結果を見て感想を持つ人もまた30歳、31歳、32歳……でしかないわけです。

よって、

＞「結婚年齢は32.5歳」というニュースがあったとき、それをどのように理解したらよいのでしょうか?

に関しては、自分が32歳０ヶ月だろうと32歳11ヶ月だろうと「まだ平均より若い」と理解することができます。そして33歳の誕生日を迎えた瞬間、「もう平均より若くない」に変わります。「中間はない」のです。

noname#19838 · Answer

補足に対して

（Ａ）違います。「○○な人の平均年齢は32.5歳」は、32歳６ヶ月とイコールではありません。「歳」で調査されているなら、「場の最低単位」は「歳」です。

ですからこの場合、あくまで「全部足して総数で割った結果、小数点以下が現れた」ということです。それは単純に計算の結果ですので、下位の単位を示すものではありません。No.6のかたが「「小数年齢」自体を意味の中に入れてはいけません」とおっしゃるのはそういうことでしょう。

誕生日が一様に散らばっていると仮定すれば、確かに32.5歳と32歳６ヶ月は近づくでしょう。しかしそれは結果論です。計算する前は存在しなかった概念を、計算結果の時にだけ組み入れるのは不合理です。

（Ｃ）ということで、誤りとなるでしょう。32歳８ヶ月の男性も、調査対象であれば32歳です。調査はそこから始まっているのに、結果の時だけ８ヶ月を足すのは感心できる態度とは言えません。ですから「平均より年下」です。


このずれは、始まりと終わりで単位を変えているからと言えます。始まりが「歳」なら、終わりも「歳」。終わりを「月」として扱いたいなら、始まりも「月」にしなければなりません。

だからこそ、No.7さまも「月まで考慮したいなら、そこまで細かく聞くか、調査の際に四捨五入した年齢を答えさせる」必要があるとおっしゃるのです。

（Ｂ）ですが誕生日が一様に散らばっているという仮定の下、ご自身で「32.5歳は実質33歳」と思うことはありかもしれません。しかしその仮定を置くことは、結局調査対象に月齢まで聞くのと同じです。それはあまり意味のない行為かもしれません。

なぜなら、お気づきになられたかもしれませんが、ここでも（ｃ）の答えは出てくるからです。「実質平均33歳０ヶ月」と「32歳８ヶ月」を比べれば、やっぱり32歳８ヶ月の方が年下になるのです。

proto · Answer

もしも年齢を年までしか調査していないのに月まで考慮して考えたい、というような話ならば平均33歳を33.5歳と解釈するのもいいかもしれません。
しかし月まで考慮したいなら、そこまで細かく聞くか、調査の際に四捨五入した年齢を答えさせるなどの調査の段階での配慮が必要でしょう。
そこまで細かく考えなくてもokなら、切り捨てで統計処理するように割り切ってもかまわないことになります。

しかし調査で平均33歳と結果が出ても本当の平均(母集団平均)が33歳かどうかはわかりません、誤差がありますから。
本当の平均は32歳かもしれないし34歳かもしれません、どちらにしても多くの人を調査していれば標本平均から大きくはずれることは無いだろうと言うことです。
そういう意味でどちらもあまり変わらないと言ったのです。

例えば1.0℃単位でしか体温を測れない体温計を使っておいて後で36℃だの36.5℃だの言うより、最初から0.1℃単位まで測れる体温計を使った方が正確でしょう？

>TVや新聞での統計調査は世論調査が多いと思いますが、年月日まで答えさせるのは個人情報保護の観点からして適当でないと思います。

これに関しては個人情報保護はあまり関係ありません。
統計で個人情報保護のためにすることはデータの取り方として「Aさん30歳、Bさん25歳、Cさん32歳…」とせずに「30歳が10人、31歳が12人、32歳が9人…」とすることです。
そうすれば結果を見てAさんの年齢を知ることは不可能になり個人情報が保護されます。
さらにデータの平均を取ってしまえば何人から調査したのかも直接にはわからなくなります。
例えば年収を調査する場合100万単位で聞くのはokだけど10万単位で聞くのはダメ、ということにはならないでしょう。
給与明細見せてくださいとか言い出せば別の意味でダメでしょうが。

yanasawa · Answer

１　「自分の年齢は３３歳」と答えている人は、すべて「３３歳」なので、平均は３３歳。
２　３２歳。

すべて満年齢の平均であり、求めた結果は満年齢です。小数が出たら、そのつど解釈せざるを得ないですが、その「少数年齢」自体を意味の中に入れてはいけません。

Ishiwara · Answer

数学は、もともと見解の相違があり得ない学問ですが、ときどき「暗黙の了解」の解釈によって見解が異なる場合があります。
しかし、ごく常識的に考えれば、アンケートの回答では、だれでも端数を切り捨てるでしょうから、あなたの提示した1も2も正しいと言えます。

ただし、表現には数学的でないところがあります。
「平均年齢は約33.5」は「推定母平均（母集団の平均の不偏推定値）は33.5」でなければなりません。「平均」という言葉は「データの平均」なのか「母集団の平均」なのかを明確にしなければなりません。またこの場合は、推定値に「約」をつけてはいけません。推定値が33.51であったことを他人に伝える際に「約33.５」と言うことは構いませんが。

平均年齢の計算

＞「一般に、満年齢で調査した時は平均年齢を小数で表し、

＞統計作業は「満年齢で考える前提が置かれている」ではなく「満年齢までしか回答させていない」と

この回答への補足

＞ちょうど平均年齢(満年齢を単純平均したもの)が32.1歳になるような9人の集団を考える。

この回答への補足

４度目、登場させていただきます。

この回答への補足

＞「結婚年齢は32.5歳」は「結婚平均年齢32.5歳」の誤りですが、それでも回答に違いはでないでしょうか?

この回答への補足

No.8です。

この回答への補足

補足に対して

この回答への補足

もしも年齢を年までしか調査していないのに月まで考慮して考えたい、というような話ならば平均33歳を33.5歳と解釈するのもいいかもしれません。

この回答への補足

１ 「自分の年齢は３３歳」と答えている人は、すべて「３３歳」なので、平均は３３歳。

この回答への補足

数学は、もともと見解の相違があり得ない学問ですが、ときどき「暗黙の了解」の解釈によって見解が異なる場合があります。

この回答への補足

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