先ほど、質問させてもらったものです。
xyz空間において、球面S:x^2+y^2+z^2=1と点A(3,0,0)について
以下の問いに答えなさい。
(1)平面x=cと球面Sとか交わるような実数cの範囲をもとめよ。
これは、-1≦c≦1でいいと思います。
(2)cが前問の範囲を動くとき、平面x=cとSとの交わりの円を底面とし
Aを頂点とする円錐の体積を最大とするcの値をもとめよ。
球面の方程式にx=cを代入してyについて求め、
y=±√(1-z^2-c^2)
これにz=0を代入し
y=±√(1-c^2)
これを2乗し、底面の面積をだし、それに1/3*(3-c)πをかけたもの
1/3*(1-c^2)*(3-c)π
が、円錐の体積になると考えたのですがよいでしょうか??
もしよければ、体積が最大となるときの条件は何でしょうか?
よろしくお願いしますm(__)m
A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
>この場合、C=0でのf',f'',fを求めないといけないのでしょうか??
必ずしも求める必要はないです。
求めたのはfixmania様がA#1のお礼の中で
>-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
>普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。
と発言があったこともあってc=0のf(c)がどうなっているかを
示すために求めておいたということです。
c=±1,0は特徴点でもあってc=0でのf, f', f"を求めておきました。
A#3の中の極大値と最大値は#5様の指摘通り計算ミスを
しておりましたのでA#3中の以下の行を訂正させて頂きます。
>最大値f((3-2√3)/3)=4π(√3-1)/9
>極大値f((3-2√3)/3)=4π(√3-1)/9
最大値f((3-2√3)/3)=16π√3/27
極大値f((3-2√3)/3)=16π√3/27
#極大値、最大値は質問では求める必要はなかったですね。
体積が最大になる条件は
c=(3-2√3)/3=1-(2/√3)(<0) だけでよかったですね。
返信ありがとうございます。
c=0を最大値だと思っていたことが本当恥ずかしいです。。
そんなとこに気を使ってくださりありがとうございましたm(__)m
No.5
- 回答日時:
>>体積が最大のCの値は、(3-2√3)/3ということでよろしいでしょうか
まいりました。
体積を訊かれていると、思い計算しましたが、
どうしても、#3様と合わない。
10回くらいやりました。
やむを得ず
V(C)=π(1/3)(1-C^2)(3-C)
に代入したら、何とあっている。#3様ゴメン、
当方の解が正しいようです。
で、よく読んだら。
>>Cの値は、(3-2√3)/3・・・・・(#3様と同一解で合ってます)
でガックリ
せっかく計算したので、解も記載します。
さて
最大値の計算
v=V*(3/π)
=C^3-3C^2ーC+3
=(3C^2ー6Cー1)((1/3)C-(1/3))+(-8/3)(C-1)
=0*((1/3)C-(1/3))+(-8/3)(C-1)
=(-8/3)(C-1)
ここでC=(3-2√3)/3を代入すると、
=16√3/9
V*(3/π)=16√3/9 より
V=(16√3/9)(π/3)
=16√3π/27
即 C=(3-2√3)/3 の時 最大値16√3π/27
ーーー
PS 2次導関数の算出は不要です。
増減表は(ー1≦C≦1)で充分です。
ただしー1≦(3-2√3)/3≦1と、1≦(3+2√3)/3は示す必要があります。
ーーー
返信ありがとうございます。
わざわざ、何回も計算してくださってご迷惑かけましたm(__)m
くどいようで本当に申し訳ないのですが
>>ただしー1≦(3-2√3)/3≦1と、1≦(3+2√3)/3は示す必要があります。
これは、cの値を書くとき示すべきということなのでしょうか??
No.4
- 回答日時:
>>普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが
V(C)=π(1/3)(1-C^2)(3-C)
v=V(C)*(3/π)
v=C^3-3C^2ーC+3
v’=3C^2ー6Cー1=0
C=(3±2√3)/3
MAX
/ \
/ \ /
ー1 (3-2√3)/3 1
このあとは、
C^3-3C^2ーC+3=(3C^2ー6Cー1)(式)+(一次式)
つまり、割り算をしてから代入した方が良いです。
No.3
- 回答日時:
#1です。
>-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。
単なるcの3次関数ですから普通に増減表を作って調べれば良いでしょう。
EXCELでグラフを描けば -1<=c<0の極大値が最大値になることが分かると思います。
f(c)=(π/3)*(1-c^2)*(3-c)=(π/3)*(c^3 -3c^2 -c+3)
f'(c)=(π/3)(3c^2 -6c -1)
f'(c)=0の根:c=(3±√12)/3=1±(2/√3)=2.1547…,-0.1547…
f"(c)=(2π)(c-1)
増減表
c |-1 … (3-2√3)/3 … 0 …… 1
f'|8π/3 + 0 - …(-π/3) …(-4π/3)
f"|-4π - - (上に凸) (-2π) - 0
f| 0 増加 極大 減少 1 減少 0
c=(3-2√3)/3の時、f'(c)=0,f"(c)=-4π/√3<0(上に凸)
極大値f((3-2√3)/3)=4π(√3-1)/9
-1≦c<(3-2√3)/3でf'(c)>0 、f(c)増加
(3-2√3)/3<c<1でf'(c)<0 、f(c)減少
従って、c=(3-2√3)/3の時の極大値が最大値となる。
最大値f((3-2√3)/3)=4π(√3-1)/9
返信ありがとうございます。
増減表を使うんですね。。
教科書を見て少しずつ思い出してきました。
この場合、C=0でのf',f'',fを求めないといけないのでしょうか??
増減表のことの質問になってしまいすみません。
No.2
- 回答日時:
ーー
あってます。
ただ、少し遠回りしてます。(後述)
あとは#1様通りです。
補足
平面上で
#1 X=1
#2 X=1 (Yは任意)
通常表記は#1ですが、#2の表記がときには有効です。
本問題では
X=C (Y、Zは任意)・・・平面の方程式
とすれば、考えよいと。
X^2+Y^2+Z^2=1
C^2+Y^2+Z^2=1
底面の円の方程式は
Y^2+Z^2=1-C^2 (ー1≦X≦1)
その面積は π(1-C^2)
ーーー
No.1
- 回答日時:
(1)合っている。
(2)の途中まで合っています。出てきた体積の式がcを変数とする3次関数
f(c)=1/3*(1-c^2)*(3-c)π=
と見做せます。
(1)で求めたcの範囲
-1≦c≦1
でf(c)の最大値を求めれば良いだけです。
-1≦c≦1での3次関数f(c)の最大値は求められますね。
やってみてください。
分からなければ質問して下さい。
返信ありがとうございます。
本当に初歩的で申し訳ないのですが
-1≦c≦1での、最大値を求めることができません・・・
普通に考えてc=0の時が最大値に思えるのですが。。
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