0.999... - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を見たのですが理解できません。
イコールは同一って記号って習ったので
0.9999...と続いても最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。
わかりやすい説明があればよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Q1: 1=0.9999… か?
A1: 「前提条件」によって「1=0.9999…」となったり「1≠0.9999…」になったりする。
しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
「1=0.9999…」であるとした方が妥当である。
Q2:「1=0.9999…」は証明可能なのではないか。
A2:A1の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。
Q3:1と0.9999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
A3:分数の2/2と3/3も違う形だが、全く同じ数である。
Q4:A1で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか?
A4:自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
したがって、「1=0.9999…」が結論となる論理も「1≠0.9999…」が結論になる論理も
矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。
Q5: A1の「前提条件」とは何か?
A5: 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「0.9999…が
無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。
Q6: 「1=0.9999…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか?
A6: 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。
No.10
- 回答日時:
この質問は定期的に出てきますね。
NO3の方のところにも、過去の回答がいろいろあります。
0.999…というのは極限値という意味で、その極限値が1だという
ことです。
9を増やしていくと小さい方から1に近づきます。
その極限値が1になるということは、1よりも小さいところの「どんな」
区間(1-x,1)を設定しても9を増やせば必ずこの区間に入ってしまう
ということです。
たとえば、0.999と止めてしまうと、1より小さいところの「ある」区間
(1-0.00001,1)の中に入ることはできません。
これはどこの有限桁のところで止めても、このようなことが起こりま
す。
しかし、9を無限に続ける場合には、1よりも小さいところのどんな
区間にも入っていくことができます。したがって、1に一致することは
ありませんが、極限値としては1なのです。
(ちょっと感覚的ですが)
高校でlim(n→∞)のような記号を習ったと思いますが、0.(9)nで
9がn個あるという意味とすると、
0.999…=lim(n→∞)0.(9)n=1
ということです。
また、0.000…1は「…」が無限にあるという意味かと思いますが、
これも極限値の考え方からすれば、極限値は0です。
この場合は、大きい方から0に近づきますが、0よりも大きいどんな
小さな区間(0,x)にも入っていくことができるからです。
これもlim(n→∞)を使って書けば、
0.000…1=lim(n→∞)(1/10)^n=0
ということです。
1/3=0.333…にしても0.333…は極限値という意味で、その極限値が
1/3だということです。
これ以外にも、0.5=0.4999…などとも表わすことができます。
同様に右辺は極限値という意味です。
No.9
- 回答日時:
X=0.9999…(1)
10X=9.9999…(2)
(2)-(1)を計算すると
9X=9
ゆえにX=1
(1)より
0.999…=1
この一聯の流れを否定することができますでしょうか?
よく見てください。どこにも不備はないはずです。
恐らく1、2行目の特に”…”の部分なんかに疑問を持たれるのかもしれませんが、X自体は確実に定数なので10倍した10Xは、丁度Xの10倍なんです。小数点以下がゴッソリ相殺される感覚に慣れてください。
それでも、どこか疑問でしょうか?
No.6
- 回答日時:
0.9999…の9が人知を超えて無限に続いていくってことです。
でも0.0000000…1は有限の数ですから、足してしまうと1.0000…000999…となってしまうわけですよね。
だから0.9999…に足して1になる数があるとしたら0.000…と0が無限に続く数ですね。
0が無限に続く数って、要するに0でしょう?
0を足して1になるのは1ですよね。
つまり、0.9999…=1です。
こんな感じで自分なりに納得してしまうのがいいと思いますよ。
ホントの証明をしようとするとたぶん気が遠くなります。
というか私には理解不能でした。
まぁやるんでしたら、Wikipediaぐらいは理解しないと無理でしょう。
No.5
- 回答日時:
>最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。
これが誤りの根本です。
0.9999...と「無限に続く」数です。
最後が0.000...1と有限な数をたして1になりますか?
)0.9999...99999....99999...
+0.0000...1
を考えると分かると思います。
別の説明をすると
1-0.9999...の計算をしてみてください。是非とも筆算で。
答えの最後に1が出てきそうですか?
永遠に0が続くでしょうね。
よって1-0.999...=0
より1=0.999....です。
そう、1と0.999....は寸分違わず全く同一の数なのです。
それでも、1-0.999...で最後に1が出ると思ってしまいますか?それは0.999...の9をどこかで打ち切ってしまうからです。勝手に打ち切ってはいけません。「永遠に9が続く」のですから。
No.4
- 回答日時:
0.9999…は下の桁に9が増えるごとに1に対して近付く、
そして9が無限にあるということは1に対して無限に近付く、
無限に近付くということは逆を言えば1と0.9999…との差は0
つまり1。
という認識でいいんじゃないかな。
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