再質問 5x+7y(x,yは自然数)の形で表せない数

5x+7y(x,yは自然数)の形で表せない数を求めよ。ただし自然数に0は含まない。という問題がありました。答えは23個です。具体的には、2,7,4,9,14,1,6,11,16,21,3,8,13,18,23,28,10,15,20,25,30,35です。

たとえば3はどうするのでしょうか。ただし自然数に0は含まない。というのは模範解答などから僕が勝手に判断したものですので、もしかしたら含むかも知れません。

まったく分からないので教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： hugen 回答日時： 2007/04/28 23:57

5x+7y

(y=1、x=1,2,3,・・)　[12],17,22,・・・
(y=2、x=1,2,3,・・)　[19],24,29,・・・
(y=3、x=1,2,3,・・)　[26],31,36,・・・
(y=4、x=1,2,3,・・)　[33],38,43,・・・
(y=5、x=1,2,3,・・)　[40],45,50,・・・

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,01
02,,,03,,,04,,,05,,,06
07,,,08,,,09,,,10,,,11

[12],,13,,,14,,,15,,,16
(17),,18,,[19],,20,,,21
(22),,23,,(24),,25,,[26]
(27),,28,,(29).,30,,(31)
(32),[33],(34),,35,,(36)
(37),(38),(39),[40],(41)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
２＋６＋３＋７＋５＝２３　（答）

この回答へのお礼

みなさんどうもありがとうございました。
すべて僕の誤解で案外簡単な問題でした。

お礼日時：2007/04/29 10:20

No.3 回答者： aiueo95240 回答日時： 2007/04/28 21:28

a,bを互いに素なある定まった自然数とし、x,yを0以上の任意の整数とする。

自然数のうち、ax+byの形で表せないものの個数は
(a-1)(b-1)/2個

証明
aで割り切れる数はすべて表せます。
aで割ると1余る数のうち、ax+byの形で表せる最小の数は
bp (pはa未満のある自然数)という形になり、このとき
表せない数の個数は (bp-1)/a個です。… (1)
bpはaで割ると1余りますから、ba-bp=b(a-p)はaで割ると
a-1余ります。また、a-pはa未満の自然数です。
すると、aで割るとa-1余る数のうち、ax+byの形で表せる
最小の数はb(a-p)となり、ax+byの形で表せない数の個数は
{b(a-p)-(a-1)}/a個です。… (2)
(1)と(2)を足すとb-1個となりますが、同様の議論で
「余りが2」＋「余りがa-2」→ b-1個
「余りが3」＋「余りがa-3」→ b-1個
・・・
「余りがa-1」＋「余りが1」→ b-1個
のようになりますので、全部で(a-1)(b-1)/2個となります。

No.2 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/04/28 20:08

問題を写し間違ってませんか?

xもyも自然数ということはx=y=1の時が最小ですから１２．
つまり、12未満の数は表せません。

しかし、質問者様の書いた答えを見ると、5がないのに7は入っています。
x=1,y=0のときに　5
x=0,y=1のときに　7
なので、話が通りません。　

No.1 回答者： k_yuu01 回答日時： 2007/04/28 19:58

”表せない数”の答えが

2,7,4,9,14,1,6,11,16,21,3,8,13,18,23,28,10,15,20,25,30,35
何ですよね？
2,7,4,9,14,1,6,11,16,21,「3」,8,13,18,23,28,10,15,20,25,30,35
入ってますが…

見やすく並び替えておきます
1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,13,14,15,16,18,20,21,23,25,28,30,35

こうすると表せる数は
5,12,17,19,22,24,26,27,29,31,32,33,34
ってとこでしょうか
あと、このままでは無限に列挙できてしまいます。ｘ、ｙの値域の指定や、表す数の上限は決まっていませんか？

表せる数の探し方といえば、ｘをなんらかの数（例えば１）に固定してｙを１から順に数を入れていき、ある程度求めたらｘを2に固定してｙを１から順に数を入れていき、ある程度求めたらｘを３に固定して…以下同じ操作を繰り返すことですかねぇ…

この回答への補足

表せる数の探し方といえば、ｘをなんらかの数（例えば１）に固定してｙを１から順に数を入れていき、ある程度求めたらｘを2に固定してｙを１から順に数を入れていき、ある程度求めたらｘを３に固定して…以下同じ操作を繰り返すことですかねぇ…

そうです。模範解答はそういう表になっています。でもそれにしても無限に表せますよね。問題文の移し間違えはありません。

あと
5で割って2あまる数のうちこの行にこないものは2,7
5で割って3あまる数のうちこの行にこないものは4,9,14
・
・
・となっています。

さらに参考として、お互いに素のa,bについて、pa+qb(p,qは自然数)で表せない数の個数は(pa+p+q-1)/2と書いてあります。

まぁよく分からない悪問なので、理解できなくてもそのまま気にせずに無視してもいいでしょうか。

補足日時：2007/04/28 20:39