No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x>0とします。
xが微小のとき、sinx≒xなので、(sinx)^x=x^xと考えられます。
したがって、x^xのx→0の極限を求めることに帰着されます。
対数をとると、logx^x=xlogx=logx/(1/x)で、x→0のとき分子も分母も
発散するので、ロピタルの定理を使って、
(1/x)/(-1/x^2)=-x→0(x→0)
よって、x^x→1(x→0)で、(sinx)^x→1(x→0)
あるいは、(sinx)^xの対数をとると、
log(sinx)^x=xlog(sinx)=xlog(sinx/x)x=xlog(sinx/x)+xlogx
x→0のとき、sinx/x→1なので、xlog(sinx/x)→0
結局、xlogx=logx^x、つまり、x^xの極限を求めることに帰着される。
上でロピタルの定理を使ったが、これを使わないとすると、x<1のと
き、両辺をx乗するとx^x<1
逆数をとると、(1/x)^x>1
よって、(1/x)^x=1+Rx(Rx>0)と置くことができる。
両辺を1/x乗して、2項展開を考えると、
1/x=(1+Rx)^(1/x)=1+(1/x)Rx+(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2+…
>1+(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2
(各項は正なので、この2項以外を捨てるとこの不等式が成り立つ)
1を移項して、
1/x-1>(1/2)(1/x)(1/x-1)Rx^2
両辺を1/x-1で割ると、
1>(1/2)(1/x)Rx^2
0<Rx^2<2x
0<Rx<√(2x)
√(2x)→0(x→0)だから、Rx→0(x→0)
よって、(1/x)^x=1+Rx→1(x→0)だから、x^x→1(x→0)
したがって、最初に戻って考えると、
log(sinx)^x=xlog(sinx/x)+logx^x→0+log1=0(x→0)
よって、(sinx)^x→1(x→0)
この回答へのお礼
お礼日時:2007/05/21 21:39
丁寧な回答ありがとうございました。
確かにx<<1のとき、sinx=xですね。
x^xの極限はお決まりの対数を取ればいいので大丈夫です。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
定義域は、x>0 ですよね。
f(x)=(sin(x))^x
g(x)=log(f)とおくと、(すなわち、e^g(x)=f(x)とおくと)
g(x)=xsin(x)
x→+0のとき、g(x)→0 なので、e^g(x)→e^0=1
なので、f(x)→1
というのではダメでしょうか?自信ないです。
テイラー展開を利用して示す方法はわかんないです。
この回答へのお礼
お礼日時:2007/05/21 21:41
ありがとうございました。
誰か違う人が質問していて、教授がsinxをテイラー展開するんだよとか言ってて意味分からん式をずらずら書いていました…。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
- 数学 tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+… と 14 2023/01/17 10:33
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
- 数学 テイラー展開について r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y) 4 2023/03/08 01:06
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 出会い・合コン マッチングアプリでマッチした人との初デートで使える話題を無限に募集します。 ある程度は自分でも相手の 2 2023/08/12 18:40
- 工学 画像においてtan x=sin x/cos xでありますが、 x=0の時は分母が0になり式が成立しな 3 2022/06/15 21:31
- 数学 テイラー展開版は以下であっているでしょうか? 間違いがある場合は、どこが間違っているか教えて下さい。 1 2022/09/01 23:44
- 数学 数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、 3 2022/11/12 10:19
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
両辺から自然対数をとった時
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
aが整数で、bが1以上4以下の自...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
平方根を取る とはどういう...
-
多点を通る円の中心
-
数学ではよく、両辺を2乗します...
-
xのa乗をx=の形にしたい
-
a=bが2=1に…なぜ?
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
X/3.5=X/7.5+20 のxを求める...
-
三角関数 解の個数 定数分離
-
数学の問題です。Aの小遣いはB...
-
逆数をとるということ
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
xが分子の足し算、どうやるんで...
-
a1=1 , an+1 = √1+an (n=1...
-
答えが2になる複雑な数式を探...
-
2のX乗+2の−X乗の解き方がわ...
-
なぜ両辺が負の時に両辺を二乗...
-
-0.1と-0.01ってどっちが大き...
-
指数方程式についてです。 2^x+...
-
平方根を取る とはどういう...
-
3のn-1乗はどうやって解けばよ...
-
一次不定方程式(ユークリッド...
-
不等式について
-
2乗しても同値性が崩れないと...
-
54mm×86mmは何対何ですか?
-
xのa乗をx=の形にしたい
-
恒等式の両辺を微分して得られ...
-
整数係数とは?
-
数学ではよく、両辺を2乗します...
-
A,B,Cを定数とする。x^2+2x+17/...
-
x^nを(x-1)^2で割ったときの余...
-
両辺から自然対数をとった時
おすすめ情報