F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}　の因数分解

Question

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}　
(n=1,2,3,4,5)
 を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか？

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか？

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

kts2371148 · Accepted Answer

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
（ここで、A+B+C = 2n+1 です。）
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

adinat · Answer

>>♯1様
Σa^2とはa^2+b^2+c^2、Σabとはab+bc+caのことと解釈するものと思われます。

質問者様．
(a+b)で割るぐらいなら、二項定理を使えば楽に計算できます。F_3ぐらいまではそれで何とかなりました。具体的な等式変形でやるのはかなり困難だと思います。何かよい案が他の回答者様から出るかも知れませんけれど。

恒等式であることを示すだけなら、次のように考えるとよいかと思います。両辺は2n+1次の斉次多項式（2n+1次の単項式のみからなる）であることに気をつけて、a^p b^q c^r (p+q+r=2n+1)の係数を比べるのです。それらがすべて一致すれば両辺が等しいことが示されます。右辺は簡単です。左辺は多項定理（3項定理）を使えば容易でしょう。

何かうまく左辺を変形して右辺に持っていければ気分がいいですが、係数がすごいことになっているので、そういう解法はあまり見通しはよくなさそうです。

インチキですが、計算機にかければすぐに答えが出ます＾＾

koko_u_ · Answer

計算してないですが、元の F_n が a, b, c について対象なのに、
因数分解した結果 a の次数だけ大きくなってて、おかしくないですか？

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。

>>♯1様

計算してないですが、元の F_n が a, b, c について対象なのに、

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