明日提出の力学の課題でどうしてもわからない問題があるので、どうやって解くのか教えてください。
(1)平面曲線(放物線)y=x^2に沿って、一定の速さVで運動している質点Pの速さと加速度を直角座標系(x-y座標)、平面極座標(r-φ座標)、軌道座標系(s(t-n座標))で表せ。
(2)半径aの滑らかな球面の頂点に質量mの物体を乗せ、水平方向に初速v0で物体を滑らせるとき、この物体の速度、垂直抗力を求め、さらにこの物体はどこで球面を離れるか示せ。なお、質点と球の中心を結ぶ直線が鉛直線となす角θで、質点の位置を表し、重力加速度をgとする。
(3)一平面内で下記の軌道を描く質点に働く中心力はどんな力か示せ。
r=a(1+c・cosφ)
ただし0<c<1
この3つがどんだけ考えても、わからないんです。。
どれか1つでもいいので、教えてください!
よろしくお願いします!
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(3) 中心力のポテンシャルU(r)は、次式で表される。
U(r)=E-M^2/(2mr^4)・{f(r)^2+r2}
ただし、m:質点の質量、M:質点の角運動量、E:エネルギ、f(r)=dr/dφ
ここで、r=a(1+c・cosφ)、0<c<1なので、
f(r)=-ac・sinφ=-ac・[±√{2r/a-(r/a)^2}]
なので、これを上のポテンシャルの式に代入すると、
U(r)=E-M^2/(mr^3)
を得る。
一般に、ポテンシャルはr→∞でU(r)→0とするので、その習慣に習うと、
U(r)=-M^2/(mr^3)
となる。
中心力Frは、これを-rで微分すると得られ、
Fr=3M^2/(mr^4)
を得る。
ここで、質点の角運動量と質量は未知なので、3M^2/m=αと置くことにすれば、この中心力は、
Fr=α/r^4
と表され、距離の4乗に反比例する引力であるといえる。
ちなみに、この軌道曲線は、リマソン(蝸牛線)と呼ばれ、次のような形状をしている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9% …
なお、軌道から中心力のポテンシャルを求める方法については、以下のサイトに詳述されていますので、参考にしてください。
http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~sonoda/basic_0 …の5ページ(§1.1.2)。
http://www.phys.sci.kobe-u.ac.jp/~sonoda/basic_0 …の1ページ(§1.3)
全部の問題に答えていただいて、ありがとうございます!!
大変、助かりました!!
わざわざ、大事な時間を割いていただいて、ほんとうにありがとうございます!
No.2
- 回答日時:
(2) 頂点を原点として、鉛直上方に+y軸、物体の初速の方向を+x軸にとり、球面に沿った頂点からの長さをsとし、物体の速さをvとする。
(θは頂点のときをθ=0にとる。)このときの座標の対応関係は次の通り。
x=asinθ、y=a(cosθ-1) ・・・(A)
ds^2=dx^2+dy^2, sinθ=-dy/ds, cosθ=dx/ds, ds=adθ ・・・(B)
dx/dt=(dx/ds)(ds/dt)=v(dx/ds), dx/ds=d(asinθ)/(adθ)=cosθ ・・・(C)
dy/dt=(dy/ds)(ds/dt)=v(dy/ds), dy/ds=d{a(cosθ-1)}/(adθ)=-sinθ ・・・(D)
d^2x/dt^2=(dv/dt)(dx/ds)+v^2(d^2x/ds^2) ・・・(E)
d^2y/dt^2=(dv/dt)(dy/ds)+v^2(d^2y/ds^2) ・・・(F)
d^2x/ds^2=(d/ds)(dx/ds)=d(cosθ)/ds=(dθ/ds)d(cosθ)/dθ=-sinθ/a ・・・(G)
d^2y/ds^2=(d/ds)(dy/ds)=d(-sinθ)/ds=(dθ/ds)d(-sinθ)/dθ=-cosθ/a ・・・(H)
物体の垂直抗力をSとすると、次のように運動方程式が立てられる。
m(d^2x/dt^2)=Ssinθ=-S(dy/ds) ・・・(I)
m(d^2y/dt^2)=-mg+Scosθ=-mg+S(dx/ds) ・・・(J)
式(I),(J)に式(E),(F)を代入。
v(dx/ds)+v^2(d^2x/ds^2)=-S(dy/ds) ・・・(K)
v(dy/ds)+v^2(d^2y/ds^2)=-mg+S(dx/ds) ・・・(L)
ところで、式(B)より、
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=1 ・・・(M)
また、これを時間tで微分して、
(dx/dt)(d^2x/dt^2)+(dy/dt)(d^2y/dt^2)=0 ・・・(N)
を得る。
この関係を使用して、式(K)×(dx/ds)+式(L)×(dy/ds)を求めると、
dv/dt=-g(dy/ds)
両辺にv=ds/dtとかけて、
v(dv/dt)=-g(dy/ds)(ds/dt)
この微分方程式を初期条件:y=0,v=v0で解くと、
v^2=v0^2-2gy
∴v=√{v0^2-2ag(cosθ-1)} ・・・(O)
を得る。
また、式(M),(N)の関係を利用して、式(K)×(-dy/ds)+式(L)×(dx/ds)を求めると、
v^2{(dx/ds)(d^2y/ds^2)-(dy/ds)(d^2x/ds^2)}=S/m-g(dx/ds)
この式に、式(O),(C),(D),(G),(H)を代入して、Sについてθで表すと、次式を得る。
∴S=3mg[cosθ-{2/3+v0^2/(3ag)}] ・・・(P)
さて、物体が球面から離れるのは垂直抗力S>0のときなので、式(P)から、そのときの鉛直線となす角θは、
θ=arccos{2/3+v0^2/(3ag)}
となる。
また、このときの速度は、式(O)から、
v=√(v0^2/3+2ag/3)
と得る。
No.1
- 回答日時:
長くなるので、設問ごとに分割します。
(1)
(a) 直交座標系
点Pの座標を(x,x^2)とすると、
y=x^2より、dy=2x・dx ∴Vy=2x・Vx
V^2=Vx^2+Vy^2より、Vx=V/√(1+4x^2) ∴Vy=2xV/√(1+4x^2)
V^2=Vx^2+Vy^2より、0=AxVx+AyVy ∴Ax=-2xAy
y=x^2より、d^2y=2x(d^2x)+2(dx)^2 ∴Ay=2x(-2xAy)+2V^2/(1+4x^2)
∴Ax=-4xV^2/(1+4x^2)^2, Ay=2V^2/(1+4x^2)^2
(b) 極座標系
r=√(x^2+y^2)=x√(1+x^2)
Vr=dr/dt=x/r・dx/dt+y/r・dy/dt=x/r・Vx+y/r・Vy=V(1+2x^2)/√{(1+x^2)(1+4x^2)}
Vθ=rdθ=-y/r・Vx+x/r・Vy=V・x/√{(1+x^2)(1+4x^2)}
Ar=x/r・Ax+y/r・Ay=2xV^2/(1+4x^2)^2/√(1+x^2)
Aθ=-y/r・Ax+x/r・Ay=2V^2(2x^2+1)/(1+4x^2)^2/√(1+x^2)
(c) 軌道座標系
明らかに、Vt=V, Vn=0, At=An=0
計算違いがあるかもしれませんので、考え方のみ参考にしてください。
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