ヘロンの公式の問題

△ABCにおいてAB=1cm,BC=3cm,CA=xcmであるときxのとりうる値の範囲は
□<x<□である。
また、xの値がこの範囲で変化するとき△ABCの面積の最大値□である問題

範囲の問題
|AB-BC|＜ＣＡ＜ＡＢ＋BCをなぜ考えるのか？

s=(1/2)(x＋4)
ヘロンの公式より
S＾2=s(s-1)(s-3)(s-x)をどうやって計算するのか？

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/07/01 22:14

＞|AB-BC|＜ＣＡ＜ＡＢ＋BCをなぜ考えるのか？

三角形を形作るための条件です。
線分AB=1, 線分BC=3を
頂点Bの∠Bは自由に変えられるようにして接続しておきます。
頂点Aと頂点Cとなる点を伸びたるまないゴム紐で接続するとします。線分BCを底辺として固定し、頂点Aを∠Bをゼロから180°まで増加させていくとき、ゴムの長さACは∠B＝O°で最小（BC-AB=3-1=2cm）となります。最小値は辺の大きい方から小さい方を引くため|AB-BC|と書きますが|AB-BC|=BC-AB＞0で計算します。
またゴムの長さACは∠B=180°で最大（AB+BC=3+1=4cm）となりますね。
つまり、AC=BC-AB（最小値）、AC=BC+AB(最大値)となるときは三角形が直線になって三角形が構成できませんので不等号に等号は含まれません。

三角形の面積は
底辺×高さ÷２で計算できます。
底辺をBC=2cmとし頂点Aを∠Bを増加して行くときA点の高さが最大になるのは∠Bが90°のとき三角形ABCの高さ＝AB=1cmとなり三角形の面積も最大になります。最大の面積S=3×1÷2＝3/2 cm^2　（＊）
このとき∠B＝90°の直角三角形だから、ピタゴラスの定理から
AC^2＝AB^2 + BC^2＝1^2 + 3^2＝1+9＝10
AC＝√10 cm　（＊）
　
一方、ヘロンの公式で三角形ABCの面積Sを書けば
s=(1/2)(1+3+x)=(1/2)(x+4)と３辺の長さ1,3,xを代入すると
＞S＾2=s(s-1)(s-3)(s-x)
＝(1/2)(x+4)(1/2)(x+4-1×2)(1/2)(x+4-3×2)(1/2)(x+4-x×2)
＝(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(x+4)(x+2)(x-2)(4-x)
＝(x^2 -4)(16-x^2)/16
計算はこうなります？

最大値はx^2=Xとおいて
f(X)＝S^2＝(X-4)(16-X)/16
の最大となるXから求められます。
f(X)={36-(X-10)^2}/16
上に凸の放物線でX=10(x=√10cm)でf(x)=S^2の最大値＝36/16＝9/4
となります。このとき
Sの最大値＝√(9/4)=3/2 cm^2となりますね。

この結果はヘロンの公式を使わないで導いた（＊）の結果と一致します。

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/07/01 20:04

＞|AB-BC|＜ＣＡ＜ＡＢ＋BCをなぜ考えるのか？

　１本の割り箸と１本の爪楊枝の片端同士をつないで、割り箸の残った片端に糸を繋ぎ、爪楊枝の残った片端に渡してください。そうして、割り箸と爪楊枝のなす角を０度から１８０度まで開いて行く過程で、割り箸と爪楊枝の片端同士で張った糸の長さがどう変化するのを見てください。
　そうすると、三角形の辺が持つべき条件というのが見えてくると思います。
　もし、これでもまだ疑問がある場合は、爪楊枝２本と、長い菜箸などを使って三角形ができるか試してみてください。どんな長さでも３本の線分があれば３角形ができるわけではないことが実感できることでしょう。


＞S＾2=s(s-1)(s-3)(s-x)をどうやって計算するのか？

　このように質問されるということは、まだこの式に、
＞s=(1/2)(x＋4)
を代入してはいないのでしょうね。とっても分かりやすい因数分解の式になっていて、展開も手間なくでき、ｘは４乗と２乗の項しか残らない簡単な式になっていますのに。
　あとは、x^2＝ｔ　とでもおいて、tの２次方程式と見立てれば、
＞|AB-BC|＜ＣＡ＜ＡＢ＋BC
で得られたｘの定義域を　ｔの定義域に置き換えて、この中での最大値を求めればよいことが分かることと思います。


＃　質問されるまでに、やれることはやっておくことを勧めます。そうしないと回答を得ても、浅い理解しかえられないように思います。

No.3 回答者： edomin2004 回答日時： 2007/07/01 18:53

三角形の中で一番長い辺がBCだった場合、CAはBC-AB未満じゃないと三角形になりません。

(|AB-BC|<CA)
三角形の中で一番長い辺がCAだった場合、CAはAB+BC未満じゃないと三角形になりません。(CA<AB+BC)

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/01 18:49

よくある「模範解答の内容がわかりません」のパターンですね。

自分で考えましょう。

No.1 回答者： ozunu 回答日時： 2007/07/01 18:46

>|AB-BC|＜ＣＡ＜ＡＢ＋BCをなぜ考えるのか？

角ABCは0から180の間だから。