ビンゴゲームを考える。一枚のカードには5×5の計25個のマス目があり、最初から開いている真ん中のマス目を抜いた24箇所に1から90の数字が重複することなく割り当てられている。司会者が1から90までの数字をひとつずつ無作為に選んで読み上げていくときに、もっとも遅くビンゴが完成する(縦、横、斜めのいずれか一列の数字がすべて読み上げられる)のは、いくつ目の数字が読み上げられたときか。また、このような事象が起きる確率を求めよ。ただし階乗記号を用いて答えてよい。
という問題です。。。
とりあえず、最も遅くビンゴが完成するのは、85コ目の数字が読み上げられたときではないかと考えています。実際にビンゴのカードの絵を描いて、色々試してみました。
しかしながら、問題である、このような事象が起こる確率の求め方が分かりません。
本当に確率は苦手です。。。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
やはり、心配でしょうね..。
私も自信が持てなかったんでプログラミングをして確認作業をしたのですよ..;
一応以下がプログラミングによって導出された24パターンとなります。
ぜひ、参考にしてみて検討してみてください。
その前に、なぜそのような考え方なのかについて少し触れておいた方がよさそうですね..。
やはりモヤモヤ感も残ると思われますし..。
でも、うまく伝わるように説明するのは難しい..。
まあ、とりあえずですが、
(1)(2)(3)(4)(5)
-----
A***B
*C*D*
*****
*E*F*
G***H
ACFHのうち最低1箇所は□がないと左上から右下までの数字は全て埋まってしまい
ます。
また、BDEGの場合も同様に今度は、右上から左下までの数字は全て埋まってしまいます。
ここで、真ん中の変わりに上から3番目にくる□を(3)以外のどの位置に来るかを考えます。
例えば、(1)の列にあるとするならば、
(1)(2)(3)(4)(5)
-----
A***B
*C*D*
□****
*E*F*
G***H
次に斜めの数字が埋まる事を阻止するためには、(2)(4)(5)のアルファベットの箇所に
適切に□を配置する必要があります。しかし、(2)(4)の場合、CとD、EとFには同時に
おけません。なぜなら、同時におけるとすると、どの列も横から見てただ1つの□を
並べるというルールに反するからです。よって、(5)のBかHに□をおかない限りは、
(2)と(4)だけでは斜めビンゴを阻止する事が出来ないわけです。
なので、(5)のBかHのどちらかに配置しなければならないというわけです。
ここで、Bに□を配置したとすると、
(1)(2)(3)(4)(5)
-----
A***□
*C*D*
□****
*E*F*
G***H
となります。すると、これで、右上から左下までの数字が埋まる事はなくなりました。
今度は右下から左下の数字が埋まる事を阻止しなければなりません。
すると、EもしくはFに少なくとも1つは配置しなければなりません。
よって、
i) EとFに同時に配置する場合
ii) Eにのみ配置する場合
iii) Fにのみ配置する場合
後はi) ii) iii)とも□を埋めれば、残りの列には自動的に□の配置が一意に決定できます。
よって3通りになります。
後は、今度は、Hに□を配置する場合においても、これは図をよく眺めると対称となっているので、
同様に考えれば3通りです。よって、(1)に上から3番目にくる□を配置した場合は3+3=6通りです。
そして、上から3番目にくる□が(5)にくる場合も対称になりますよね。
後は、(2)に置いた場合は#3で説明した通りであり、(4)の場合もその対象性を利用すれば
良いだけの事です。異常により、6×4通りになります。
いかがでしょうか、理解できましたでしょうか?一応、プログラミングによる検証結果を以下に載せておきますので、
どうぞ参考にして下さい。
◆プログラミングによる24パターンの導出結果
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プログラミングによる24パターンの導出結果、ちょうど自分が求めた
パターンと同じになりました(^0^)/
確かに、その考え方だと、24パターンになりますね☆
すごい分かりやすかったです!!
ありがとうございます。
m(_ _)m
最初の、上から3番目に置くの1列目、2列目、4列目、5列目の4通り。
例えば、上から3番目の1列目に置いたとする。
次に置くのが、角のBかH2通り。(斜めをふさぐため)
次がCとF両方に置くか、どちらかに置くかの3通り。(斜めをふさぐため)
あとは自動的に決まるので、式に表すと、
4×3×2×1=24通り。
これは確かに人に説明するのは、なかなか難しいですね。
自分ではおかげさまでかなり理解できたと思いますが、その理解できた
というのが分かりにくい文章ですみませんm(_ _)m
No.5
- 回答日時:
#3,4です。
何度も申し訳ありません。
勘違いしておりました。
ビンゴゲームとはあがりのルールが少しばかり違っていたのですね。
真ん中の場合は、最初から埋まっているものと考えるべきだったのです
ね。すみません。
最も遅くあがるのは86回目でよく、パターン数以外はやはり5つの数字を残せば良いので、#3の計算式で良い事になります。
そしてパターン数の考え方ですが、
真ん中はすでに埋まっているものとして考えると、
#3で紹介した(II:ど真ん中に□がこない場合)
を考えればよいので24通りになります。
結局は、質問者さんのおっしゃるとおり、24×(85!5!)/90!
で良い事になりますね..。本当に申し訳御座いませんでしたm(__)m
もうすこし問題文をきちんと読まないといけませんね..;
大変反省しております..。
再度コメントありがとうございます!!
#3で教えていただいた、真ん中に□がこない場合を、
実際に24パターン書いてみました!!
なるほどなりました♪
24パターンできました。。。
このやり方、実際のところ完璧に理解できたわけではないので、もしかしたら
もっとパターンがあるんじゃないかとか少し思ってしまいますが、
大丈夫ですよね??
多分もっとよく考えたら、この方法でパターン洩れは絶対にないと
確信できるのでしょうが、頭がそろそろ追いつかなくなってきて(^^;)
疑り深い性格ですみませんm(_ _)m
プログラミングで実証されているものらしいですし、これで全部ですよね☆★
この方法、すごい画期的だと思います!!
この問題で、このパターンが何通りか考えるのが一番難しいところだと
思います。
1人では絶対にムリでした。
このやり方でパターン漏れがないという確証を得るためのプログラミングとかできないんで(^^;)
本当にありがとうございましたm(_ _)m
助かりました!!
実際色々ある問題の中で、かなり難しい方の問題でした(^^;)
あと、確率の求め方もタメになりました。。。
言われてみるとなるほどって思うんですけど、なかなか自分の
頭では思いつかなくて・・・
No.4
- 回答日時:
#3です。
好意的なお礼を頂き誠にありがとうございます。>あと、補足なのですが、問題文では真ん中はあいているものとしているので、Iの、ど真ん中に□がくる場合はないものと考え、確率式は、
24×(85!5!)/90!
でいいですか??
あっ? それはうかつでした..。誠にすいません。
真ん中は既にあいているものとするという条件をうっかりと見落として
おりました。
これは、やはり出題者側が難易度を少々ばかり下げるために
意図的にそういった設定にしたのでしょうかw
真ん中が開いている場合はビンゴのパターンを考える場合はまだ簡単な
方ですからね..。
#3でご覧のとおり、真ん中が開いていない場合も含めると、
かなり苦労します..。
全く関係のない長話になって申しわけありません。
さて本題ですが、空いている場合、パターンは24パターンで良いのですが、今度は、真ん中の空いているところを含め5つの空欄になっているわけですから、その他の4つの空欄を最後まで残す事を考える必要があります。
また、気をつけなければならないのが、今度は4つの数字を残せばよいので、最も遅く上がるのは86回目ではなく、87回目です。
87回目には、残りのどの数字が読まれようが必ず上がります。
要するに86回目まで、各パターンにおいて対応する4つの数字を残せば
のです。
なので、計算式は、
24×(86/90)×(85/89)×…×(1/5)
=24×(86!4!/90!)
となるはずです。
でも、かくいう自分もあまり自信がありません..。
やはり若干意図的に難易度を落としているとはいえ、難しいことには
変わりないですね..。
No.3
- 回答日時:
85回目に数字が読み上げられるまで、ビンゴにならずに残る確率さえ求めれば良い事になります。
そして、85回目までビンゴにならずに残る場合のパターンは結論から申し上げると48通りになります。(プログラミングにて実証済み)以下はその一例になります。
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■ □ ■ ■ ■
■ ■ □ ■ ■
■ ■ ■ □ ■
■ ■ ■ ■ □
■ 数字がすでに的中した箇所
□ 数字がまだ的中した箇所
なぜ48パターンになるのかは後ほど説明します。
まず、各パターンにおいて、□の部分は的中しないようにすれば良い
ので、85回数字を読み上げるまで、その部分の数字全てが読み上げられ
ない確率を求めれば良い事になりますね。
そうすると、計算式は
(1回目に5つの数字以外を読み上げられる確率)×(2回目に5つの数字以外を読み上げられる確率)×......×(85回目に5つの数字以外を読み上げられる確率)となるので、
(85/90)×(84/89)..... × 1/6 = (85!5!/90!) となります。
後は、これが48パターンにおいて言えるわけであり、互いに排反事象
である事から、48×(85!5!)/90!となります。
実際に電卓で計算させて見たところ、およそ100万分の1でした。
以上は高校数学レベルの考え方になります。
問題は、48パターンを求め方ですが、これは考えようによっては小中学生でも出来るかもしれません。パズルを解くのが得意な人ならば比較的簡単に出来るかもしれません。また、ご自身でもパズル感覚で考えていってもらいたいとも思います。
ここで、48パターンの特徴なのですが、
「縦から見ても横から見ても、各列には□が必ず1つ存在する。」
であり、ここからは上記の規則を満たすような配置問題として
考えれば良いです。
つまり、縦方向に左から順番に見ていくと、
各列のどの□も横から見て2つ以上になってはいけない。
この場合、まず2通りのケースに分けて考えます。
I:ど真ん中に□が来る場合
*****
*****
**□**
*****
*****
*は□もしくは■が未確定
この場合は1列目は上から3番目以外はどこに配置しても良いので
4通りになり、2列目は3通り、4列目は2通り、5列目は1通り
になるので、4!=24通りになります。
II:ど真ん中に□がこない場合
A***B
*C*D*
*****
*E*F*
G***H
まず、上から三番目に来る□をどこに置くかを考えます。
例えば1列目においた場合は、
BもしくはHに□を配置しなければなりません。
もし、Bに置いた場合は、今度はCかFのうち少なくとも1箇所に□を
配置しなければなりません。そうしなければ、斜めの数字が全て埋まって
しまいビンゴになってしまいます。ここで、これまでの過程を図で整理すると以下のような状態です。
A***□
*C*D*
*****
□E*F*
B***H
ここで、CとFともにどちらにも□をおく場合と、
そうでない場合とにわけて考えます。
CとFともに□をおく場合、
A***□
*□*D*
□****
*E*□*
B***H
後は3列目には、上から5番目にしかおけません。
Cにのみ置く場合
A***□
*□*D*
□****
*E*F*
B***H
Fに置くと上記のケースになってしまうので、
4列目には上から5番目にしかおけず、3列目には残りの4番目に
しか置けません。
Dにのみ置く場合もCの時と同様です。
以上を整理すると、
(1):上から3番目に□を1列目におく(後は2列目、4列目、5列目に置く場合もある)
(2):Bに□をおく(後はHに□を置く場合もある)
(3):CとFに少なくとも1つの□を置かなければならず、
CとFに置く場合、Cのみに置く場合、Fに置く場合と
合計3ケースが存在し、残りの列の配置は一意にきまる。
要するに(1)(2)の条件のもとでは3通りの配置パターンが存在する
わけです。
後は対称性を利用するなどして上記のような手順で考えていけば
24通り存在する事が分かります。
I、IIのケースともともに24通りずつ存在するわけですから、
全部で48通り存在する事がいえます。
最後の方は大雑把な説明になりましたが、参考程度に留め、機会があればぜひご自身で考えてみてください。図を書いて考えればスグにわかるかと思います。
最も理解していただきたいのは、前半部分の確率式の求め方と考え方ですね..。
長い文章ありがとうございました!!
おかげでだいぶ理解できました!!
確率式においては、大丈夫そうです。
ただ、85回目までビンゴにならずに残る場合のパターンについては、
まだいまいち理解しきれていないので、じっくり考えてみます(^^;)
本当に確率とか順列とか組み合わせとかパターンは苦手です(><)
あと、補足なのですが、問題文では真ん中はあいているものとしているので、
Iの、ど真ん中に□がくる場合はないものと考え、確率式は、
24×(85!5!)/90!
でいいですか??
この問題は、どのように解いていくかが、どのように考えるかが
とても難しかったです。
本当にありがとうございました!
助かりましたm(_ _)m
No.2
- 回答日時:
86個目の数字が呼びばれるまで揃わないケースが一番遅いというのは既にNo.1さんのとおりです。
数字が5個しかのこっていないのに揃わないケースを調べますと、この取り方が8パターンあります。
これは、5x5の盤のクイーン問題で、中央の位置に駒を置かない場合の解の数と同じです。
●○○○○ ●○○○○ ○○○○● ○○○○●
○○○●○ ○○●○○ ○●○○○ ○○●○○
○●◎○○ ○○◎○● ○○◎●○ ●○◎○○
○○○○● ○●○○○ ●○○○○ ○○○●○
○○●○○ ○○○●○ ○○●○○ ○●○○○
○○●○○ ○●○○○ ○○●○○ ○○○●○
●○○○○ ○○○●○ ○○○○● ○●○○○
○○◎●○ ●○◎○○ ○●◎○○ ○○◎○●
○●○○○ ○○●○○ ○○○●○ ○○●○○
○○○○● ○○○○● ●○○○○ ●○○○○
まずは、あるひとつのパターンが発生する確率を求めましょう。
5個を任意に残すことは、つまり、特定の5個を90個の中から選ぶことですので、
その確率を計算しますと、
(5!*85!)/90! = (5*4*3*2*1)/(90*89*88*87*86)=1/43949268
求める確率は、これの8倍ですので、
8/43949268
2/10987317 = 約 0.000000182028
となります。
答えがあっているかどうかはちょっと自信がありません。
図を使った説明ありがとうございました!
確率の計算の仕方、ためになりました(^^)
あとは、パターンについてですよね(^^;)
パターンについては考えるのがどうしても苦手なので、今からじっくり
考えてみます。
クイーン問題という言葉、初めて聞きました。。。
数学を本気で勉強していると、しらなかった法則などを沢山発見し、
知ることができるので楽しいです。
本当にありがとうございましたm(_ _)m
No.1
- 回答日時:
多分86個目でビンゴになるのが最遅の時だと思います。
85個目はまだ5つ数字が残ってるので将棋で言う必至の状態です。
確率は
4!×20
------------
90P24×90P85
というへんてこな答えしか出てきませんでした。
スミマセン。
これは、
最初のカードの場合が
90から24並べる 90P24
次に読み上げられる数字の場合が
90×89×・・・なので 90P85
これを掛ければ必至の状態の全事象が出てきます。(多分)
んで分子は真ん中以外の縦か横に視点を当てて 4!
どうしてももうひとつ消す必要があるので 4
必至の状態から5つの穴から1つ選ぶ 1
4!×4×5から算出しました。(5!×4でもいいけど・・)
(間違ってるの覚悟です^^;)
なにかきっかけのかけらにでもなればとてもうれしいです。
わたしは平凡な会社員ですが、確率で解けない問題はないと思っていました。いままでは・・・・
ありがとうございます。
解答が分かったらぜひ教えて下さい。
東京大学大学院ですか?さすがです・・・・・
応援しています。
あ!!本当だ!!
再度試してみたら86コ目が最遅になりました(^^;)
もう1回確率の問題考えてみます。
助けになりました。
ありがとうございましたm(_ _)m
確率でとけない問題がないと思っていたって、すごいですね(^^;)
どうも自分は確率が苦手で(><)
こちらこそ、解答がもし分かったらその時はヨロシクお願いします。
過去問8割ほどは解いたのですが、どうしても全部解きたくて...
なかなか自分の頭の悪さに悩まされてます。。。
応援ありがとうございますm(_ _)m
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