sin^2x+cos^2x=1は方程式ですか

あるいはsinとcosの関係に関する定理なのでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhposolihp 回答日時： 2007/08/12 09:37

余談、

以前の投稿で、量子力学に御興味がある事を知っています。
私は、その関係の書物はもっていないので、残念ながら、複素数には出会ったことがありません。

＞＞sin^2x=0.21

逆三角関数を御存知だったと思うのですが、

三角方程式、（０度≦X≦90度）の範囲で、

sinX=1/2
cosX=1/2
tanX=1

は上から順に、X＝30度、X＝60度、X＝45度です。

これらを、逆三角で表現すると、

arcsin(1/2)=30度
arccos(1/2)=60度
arctan(1)=45度

必ずしも、答が手計算で、出るわけではありません。
特殊な値の場合のみ、算出できます。
sin44度=？、e^44=？、log44=？、arcsin(0.44)=？

これらは皆、超越数のはずですが、証明は困難のようです。
e,πは証明されていたかどうか、忘れました。

関数電卓、エクセルなどは、すべて数値計算ですので、算出できます。（関数が全てプログラムで組まれています）。

＞＞sin^2x=0.21 （０度≦X≦90度）の範囲で、

倍角の公式を使用して、

(1-cos(2x))/2=0.21
1-cos(2x)=0.42
0.58=cos(2x)
arccos(0.58)=2x
(数値計算の結果）=2x
x=(数値計算の結果）/2 となりますが、

＞＞方程式は解けるのでしょうか。

こういう計算は、数学として、解いたとは言えないと、思います。

この回答へのお礼

大変勉強になるご教示でした。独学の初心者は実験的になんとか理解しようとします。しかし数値計算は理論的で裏付けられているとはいえやはり実験的なものなのかなと思いました。方程式を解いたと言える条件も難しいものなのだと理解いたしました。

お礼日時：2007/08/12 13:12

No.5 回答者： info22 回答日時： 2007/08/12 10:57

＃１です。

＞この方程式の解法というものもあるのでしょうか。
ナンセンスな補足質問ですね。

＞＞これは常に成立する恒等式ですから
＞＞公式ですね。
＞＞証明できますので定理でしょうね。
恒等式ですから全ての実数xで成立しますので解法は意味がありません。

特定のxについてだけ等号が成立する（狭義の）方程式であれば
その特定の変数の値を求めるための方程式の解法が意味を持ちます。

＞一見似ていますがsin^2x=0.21というような方程式は解けるのでしょうか。
これは特定のxの値についてだけ成立する方程式ですから解法が存在します。といっても簡単な解法です。
{sin(x)}^2={1-cos(2x)}/2=0.21
cos(2x)=1-0.42=0.58
2x=±arccos(0.58)+2nπ
x=nπ±(1/2)arccos(0.58)
ここで、n=0,±1,±2,±3,…
なお、arccos(0.58)は電卓やExcelで計算でき
arccos(0.58)=54.549457360824587482404043389153…
という定数です。
arccosはcos^-1 とも書きます（アークコスと読む）。

この回答へのお礼

ご懇切な御教示ありがとうございます。私には簡単なものではありませんが、勉強させていただきます。

お礼日時：2007/08/12 13:16

No.3 回答者： kaaaiii 回答日時： 2007/08/11 23:48

方程式でもあり定理でもあります

方程式とは単に変数（未知の数）を含む式であり、定理とは正しい命題の事なので。

この回答へのお礼

御教示ありがとうございます。一見似ていますがsin^2x=0.21というような方程式は解けるのでしょうか。解法がない方程式もあるのかもしれませんが。

お礼日時：2007/08/12 08:02

No.2 回答者： chomsky123 回答日時： 2007/08/11 23:34

かなり強引に分類すると、

等式(equality)
=恒等式(identity)+方程式(equation)
　　　　↓
{恒等式(identity)、定理(theorem)、公式(formula)}
,,,,,,,,,,,,,,,,,

{(cosT)^2}+{(sinT)^2}=1、については
cos,sinの相互関係、と呼ばれる事が多い様です。
もちろん、定理であり、公式であり、恒等式です。

相互関係と呼ばれる理由は、

三平方が、ユークリッド幾何の、公理(axiom)・定義に該当するならば、
{(cosT)^2}+{(sinT)^2}=1、は　三平方に等価なので。
個人的には、定義と感じています。
,,,,,,,,,,,,,,,,,

数学と言えども、用語には、文脈依存性がありますので、
>>定理なのでしょうか。と訊かれれば、yes　としか答えられないですが。
,,,,,,,,,,,,,,,,,

もし、方程式{(cosT)^2}+{(sinT)^2}=1　ならば、Tは任意となります。
単に、{(cosT)^2}+{(sinT)^2}=1　ならば、
恒等式であることは、tacit agreementです。

脱線しますが、歴史的に著名な等式は、
方程式の場合には（等式の頭に方程式）と書かれるようです。

Maxwell equations
↓
E^2=(m^2)(c^4)+(p^2)(c^2)　（Einstein equationsの中のequations）
Einstein equations（テンソル方程式）
↓
Black hole/Einstein equations の特異解
↓
＊Hawking（蒸発理論）。
＊Roger Penrose（ツイスター）。
,,,,,,,,,,,,,,,

シュレディンガーの方程式。
ハイゼンベルグ （S-Matrix Theory）。
,,,,,,,,,,,,,,,,
SST/TOE。

この回答へのお礼

展望が開けるようなご教示をいただきありがとうございました。

お礼日時：2007/08/12 07:57

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/08/11 17:56

これは常に成立する恒等式ですから

公式ですね。
証明できますので定理でしょうね。

文字変数を含む等号で結ばれた式を広義では全て方程式といいます。

恒等式も方程式に属します。
恒等式を除いた方程式を狭義の方程式と言います。
（普通は狭義の意味で使っていることが多いですね。）

方程式の定義については、参考URLをご覧下さい。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B% …

この回答へのお礼

早速お教えいただきありがとうございました。この方程式の解法というものもあるのでしょうか。

お礼日時：2007/08/12 07:53