収束か発散かを示したいです。

Σ1/(nlog(n))が発散するのか収束するのか示したいのですがわかりません。
Σ1/(n^2)が収束することを用いるとできるのでしょうか？
教えてください。

No.1 回答者： joggingman 回答日時： 2007/10/30 14:49

手元の教科書に載ってましたが、

Σ[n=2→∞] 1/{n*log(n)}
の収束発散は、
∫[2→∞] dx/{x*log(x)}
の収束発散で評価できる。
log(x)=tと置換して、
∫[log2→∞] dt/t=lim[t→∞] log(t) -log(log2)
なので発散です。

この回答へのお礼

その定理を使えばできそうです！
ありがとうございました。

お礼日時：2007/10/30 21:32

No.2 ベストアンサー 回答者： ka1234 回答日時： 2007/10/30 17:58

こんにちは。

＞Σ1/(n^2)が収束することを用いるとできるのでしょうか？

それでは示せないと思います。（次の[1][2]で証明します）

[1]　まず、n ＞ logn を示します。(n∈N)
f(x)＝x-logx (x≧1)とおくと、f(1)＝1　(1)
f'(x)＝1-1/x　(2)　かつ　f'(1)＝0　(3)
f''(x)＝1/x^2＞0　(4)
よって、(3)かつ(4)より、f'(x)＞0　(5)
よって、(1)かつ(5)より、f(x)＞0 (x≧1)

[2] 0≦logn＜n
⇔　0≦nlogn＜n^2　（両辺ｎ倍）
⇔　1/n^2 ＜ 1/nlogn（両辺の逆数をとる）
⇔　Σ1/n^2 ＜ Σ1/nlogn（両辺のΣをとる）
となり、不等号の向きが逆になってしまいます。

[3]logn を n の関数で評価するのは難しいので、
Σを∫で評価するやり方に変えます。

定理：
単調減少数列a(n)に対して、f(n)＝a(n)となる単調減少連続関数f(x)が存在すると、
∫f(x)dx [α≦x＜∞]の収束・発散は元の級数の収束・発散と一致する。
（αは適当な数、∞は広義積分とする）

これを用います。
　∫dx/xlogx [2≦x＜∞]
＝[log(logx)][2≦x＜∞]
＝log(log(∞))-log(log2)（このように書いてはいけないと思いますが）
＝＋∞
となり発散するので、元の級数も発散する。（答え）

この回答へのお礼

その定理を使うには、
単調減少であることを言わないといけないんですね。
助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/10/30 21:35