分数の割り算　ひっくり返す意味

Question

なぜ分数の割り算では、分母と分子を上下入れ替えて計算するのでしょうか？これを論理的に、誰が聞いても納得できるように説明する方法を教えてください。

この説明をまともにできなくとも、数学という学問には
影響がないようですが、やはり知りたいという欲求が
最近めっぽう強くなってきました。

uyama33 · Accepted Answer

では、
１．分数の分母と分子に同じ数を書けても全体の値は変化しない。
２．分母が１の場合はその分母を省略できる。

を使いましょう。

(a/b)/(c/d)　の分母は　(c/d) です。

分母を１にするには

(c/d)*(d/c)=1

ですから、この（d/c）をもとの分数の
分母と分子にかけます。

分子は　　(a/b)*(d/c)=(ad)/(bc) 逆数にしてかけたものになっている
分母は　　(c/d)*(d/c)=1

そこで、分母の１を省略すれば
結局、分数のわり算は逆数をかけると言うことになります
すなわち、分母を１にするために最初の分数の
分母、分子に、分母の逆数をかけたからと言うのがその理由です。

ryo_0126 · Answer

ジブリの映画「おもいでぽろぽろ」をご覧になって下さい。
このことにとても興味深いネタがあります。

prome · Answer

以下のサイトに説明がありました。
最初のは丁寧な説明です。本来の分数の意味から解いています。
2つ目のは簡単に説明しています。機械的な代数演算です。

http://www.sf.airnet.ne.jp/tmt/
得体のしれない分数の割り算 [DVI] [PDF]　(divfrac.pdf) 

http://www.tcn.zaq.ne.jp/sheepman/omake.htm

nozomi500 · Answer

おまけですが、
８／９ ÷ ２／３を、
（８×３）／（９×２）がふつうですが、
分母どうし、分子どうし、わりざんして、
（８÷２）／（９÷３）にしても、こたえはちゃんと、４／３になります。
約分できなかった時に、二重分数になるだけなんだけど。

※７の答えは、質問の意味にはあってないと思うけど、約分せずに掛け算する（２４／１８にしてから約分）生徒さん、多いからね。（約分する作業が８÷２・・だけど。）

Nutrocker · Answer

筆算で計算する場合は、できるだけ演算回数を減らす方が効率的です。

分母と分子に共通因数があれば約分できるので計算しなくて済みます。
従って、分数計算の場合には通分して共通因数を全て取り除いてから
計算するのです。

電卓で計算するなら、わざわざ入れかえる必要はありません。

gramin · Answer

＃１さんにならって・・・
a÷(b/c)とa×(c/b)が等しいことを説明します。 
下の(1)と(2)が納得できたら簡単です。

(1)ある数とその逆数の積は1である。
つまり、(b/c)×(c/b)=1
約分できちゃうからね。

(2)ある数で割ってから同じ数をかけても大きさはかわらない。
つまりa÷b×b=1
b個に等分したケーキをb個もってくれば、1ホールになるもんね。

a÷(b/c) = a÷(b/c)×1 ・・・・・1倍しても大きさは変わらない
= a÷(b/c)×{(b/c)×(c/b)} ・・・(1)より
= {a÷(b/c)×(b/c)}×(c/b)
= a×(c/b) ・・・・・・・・・・・・(2)より

こんな説明で納得してもらえますか？

Horus · Answer

母親が子供を背負っている訳ですが、割るというのは逆のことをすることですので、子供が母親を背負って当たり前なのではないでしょうか？

tak2006 · Answer

a,bに関して、a/bとは次のように変形できます。

a/b
＝1をb個に分けた内のa個(大きさ1でb個分の目盛りのカップへaのとこまで水が入っている)
＝1をb個に分けたものがa個(そのカップへ1のとこまで水が入っている、そのカップがa個)
　　　　　　　　　　　　⇒(1/b)×a＝a×(1/b)
＝aをb個に分けたもの(大きさaでb個分の目盛りのカップへ1のとこまで水が入っている)
＝a÷b

以上より、a÷b＝a/b＝a×(1/b)
次にa=c/d、b=e/fと置きます。

a÷b
=(c/d)÷(e/f)
=a×(1/b)
=(c/d)×{1/(e/f)}
=(c/d)×(f/e)

よって、(c/d)÷(e/f)=(c/d)×(f/e)　となります。

少し分かりにくいですね。すいません。

i536 · Answer

割り算の定義は、逆数を掛けることです。
したがって、割り算は本質的なものではありません。

逆数を掛けることは使用頻度の高いため、新たに便利な表記方法として
割り算を定義したにすぎません。

分母と分子を上下入れ替えたものが元の分数の逆数ですから、結局、
分数の割り算は、分母と分子を上下入れ替えたものを掛けることになります。

gimmick · Answer

a÷(b/c)とa×(c/b)が等しいことを説明します。

まず、2÷3=2/3という計算があったとします。この式で、左辺の2と3のそれぞれに同じ数を掛けても答えは同じになります。例えば、(2×2)÷(3×2)も、(2×5)÷(3×5)も2/3になります。これと同じ事をa÷(b/c)について考えます。先に述べたように割る数と割られる数に同じ数を掛けても答えは変わらないので、aと(b/c)の両方にcを掛けます。すると、元の式は(a×c)÷bとなります。これを変形すると(a×c)/b=a×(c/b)となります。というわけで、a÷(b/c)の答えとa×(c/b)の答えは等しいということになり、分数の割り算では分母と分子を入れ替えて掛ければ良いことがわかります。

こんな説明で納得してもらえますか？

分数の割り算 ひっくり返す意味

では、

ジブリの映画「おもいでぽろぽろ」をご覧になって下さい。

以下のサイトに説明がありました。

おまけですが、

筆算で計算する場合は、できるだけ演算回数を減らす方が効率的です。

＃１さんにならって・・・

母親が子供を背負っている訳ですが、割るというのは逆のことをすることですので、子供が母親を背負って当たり前なのではないでしょうか？

a,bに関して、a/bとは次のように変形できます。

割り算の定義は、逆数を掛けることです。

a÷(b/c)とa×(c/b)が等しいことを説明します。

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