ベン図の考え方について（長文です）

こんにちは。

ベン図の考え方について分からない部分が出てきまして。。。。。


こんな問題です。。。。。




１００人の子どもに、A、B、C３問のクイズを出しました。

A正解４０人。
B正解３８人。
C正解３５人。

ABC３問中、２問のみ正解２１人。

３問とも不正解３０人でした。

では、３問とも正解は何人いますか。




このような問題です。

解答欄を見てみますと。。。。。。。。。。。。。。


ベン図より。
（ここでは図は省略致しますが。。。。。。。。。）

Aのみ正解した人数をa
Bのみ正解した人数をb
Cのみ正解した人数をc
と置きますよね。

で、次に。。。。。。。。。

AとBの２問正解した人数をp
BとCの２問正解した人数をq
CとAの２問正解した人数をr

と置きます。

３問とも正解した人数はxとします。


式を立てます。
２問のみ正解した人数が２１人なので。。。。。。。。
p＋q＋r＝２１

今、Aか、Bか、Cのどれか１問のみ正解だった人数をyと置きますと
a＋b＋c＝y
という式が成り立ちます。

で、そうすると次の２式が成り立ちます。

（a＋b＋c）＋２（p＋q＋r）＋３x（これは延べ人数）
４０＋３８＋３５＝y＋２×２１＋３x………………………(1)

（a＋b＋c）＋（p＋q＋r）＋x（これは実際の人数）
１００－３０＝y＋２１＋x……………………………………(2)

(1)、(2)より。。。。

１１３＝y＋４２＋３x…………………………(1)‐
７０＝y＋２１＋x………………………………(2)‐

あとは計算して、
x＝１１

３問正解した人数は１１人が答えなのですが。。。。。。



上の、
（a＋b＋c）＋２（p＋q＋r）＋３x（これは延べ人数）
という式（延べ人数）の立て方が今ひとつピンとこないです。。。。。。。。。。。
後の連立の計算等は分かるのですが。。。。。。。
多分、公式みたいなものなのですが。。。。。

延べ人数を求める式
（a＋b＋c）＋２（p＋q＋r）＋３x
特に、（p＋q＋r）を２倍してやる部分がピンときません。。。

AとBの２問正解した人数と
BとCの２問正解した人数と
CとAの２問正解した人数を
求めるのだから２倍ではなく３倍なのかな、と思っちゃったり。。。。。
（xの３倍は何となく分かるのですが。。。。。。。）

初歩的な質問で恐縮ですが、お時間のある時にお答え頂ければ嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： edomin2004 回答日時： 2008/02/11 15:22

Aを正解した人数は

a+p+r+x
Bを正解した人数は
b+p+q+x
Cを正解した人数は
c+q+r+x
なので、延べ人数は、
a+p+r+x+b+p+q+x+c+q+r+x
=(a+b+c)+2p+2q+2r+3x
=(a+b+c)+2(p+q+r)+3x
=40+38+35
になります。

この回答へのお礼

御回答、誠にありがとうございます。


＞a+p+r+x+b+p+q+x+c+q+r+x
＞=(a+b+c)+2p+2q+2r+3x
＞=(a+b+c)+2(p+q+r)+3x
＞=40+38+35



2p+2q+2rの部分、しっくりきました☆

解答欄は結構省略してるんですよね。。。。。。。

回答して下さったありがとうございます。

お礼日時：2008/02/11 18:51

No.2 回答者： exodus55 回答日時： 2008/02/11 15:25

延べ人数の意味がちょっとよくわかりませんが…。

日本が疎くてすいません。
こうやって式を書くと分かりますでしょうか？

Ａに正解した人：a+p+r+x=40
Ｂに正解した人：b+p+q+x=38
Ｃに正解した人：c+q+r+x=35

ただこの3式を足しているんだと思います。これは何の人数？と聞かれても何とも言えないのですが…。重複して数えた場合の回答が出来た子供の総数とでもいうのでしょうか？

とにかくベン図にaとかqとかを書き込んで見るとよくわかるかもしれません。

この回答へのお礼

御回答、誠にありがとうございます。

＞Ａに正解した人：a+p+r+x=40
＞Ｂに正解した人：b+p+q+x=38
＞Ｃに正解した人：c+q+r+x=35

＞ただこの3式を足しているんだと思います。


なるほど。

この３式を合計してるんですね。。。。。

解答欄は、この部分をスッ飛ばして書いてあったので。。。。。。。

回答して下さり、誠にありがとうございます。

分かりやすいです。

確かに、ベン図に書き込むともっとスムーズにはいくでしょうね（苦笑）

お礼日時：2008/02/11 18:54