(難)円に内接する正(n+1)角形の周長は、正n角形の周長よりも大きい

先日、「円に内接する正(n+1)角形の面積は、正n角形の面積よりも大きい」について教えていただけました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3754851.html
同じような問題に、
「円に内接する正(n+1)角形の周長は、正n角形の周長よりも大きい」
があります。

正n角形の周長L(n)は、
L(n)=2n*sin(π/n)＝2πsin(π/n)/(π/n)
で、sinx/xは0≦x≦πで単調減少（これは微分を使って証明できる）だから、L(n)はnに関して単調増加と示すことはできます。

しかし、そもそも自然数nに関する問題なのに、実変数xに変更して考えることに違和感がぬぐいきれません。
L(n)=2n*sin(π/n)＝2πsin(π/n)/(π/n)
がnに関して単調増加であることを、加法定理や数学的帰納法などを用いて、微分を使わずに、証明できるのでしょうか?

No.4 回答者： KappNets 回答日時： 2008/03/11 14:21

なかなか難しいご質問のようで、私にはお望みのお答えは出せません。

もし出来たとすると、pai の求め方の一つになりそうですね。

テーラー展開が好きなもので、ご参考までに n が大きい時の近似式をご紹介します。(1) はL(n+1)-L(n)>0 を「証明?」しています。(2) は n=infinity で L(n) が 2*pai に収束することを示します。

(1) L(n+1)-L(n)=(2/3)*(pai^3)/n^3
(2) (2/n)*sin(pai/n)=2*pai-(pa^3/3)/n^3

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2008/03/11 14:16

以前この問題に回答した記憶があるのですが、sinの無限積展開

sinπx=πx(1-x^2)(1-x^2/2^2)(1-x^2/3^2)(1-x^2/4^2)…
において、x=1/nとおくと、
sinπ/n=π/n(1-1/n^2)(1-1/2^2n^2)(1-1/3^2n^2)(1-1/4^2n^2)
より、
nsinπ/n=π(1-1/n^2)(1-1/2^2n^2)(1-1/3^2n^2)(1-1/4^2n^2)
となり、nをn+1に替えると、右辺の各括弧の中の引く部分が小さくなる
ので、各括弧の値は大きくなり、したがって全体の積も大きくなるの
で、L(n)<L(n+1)が言えると思います。

No.2 回答者： skomasu 回答日時： 2008/03/11 14:06

数学的帰納法に L(n) を使うのは駄目ですか？

結局、sinπ/x が単調減少することを使うんですが。

i) n=1
L(2)-L(1)>0
ii) 任意の自然数 k
L(k+1)-L(k)>0

とりあえず、自然数の世界で落ち着いたかなと。

No.1 回答者： higekuman 回答日時： 2008/03/11 12:45

この問題が比較しているのは、実数である正多角形の円周です。

自然数である正多角形の角数は、円周を求めるパラメータにすぎません。

正n角形の面積や円周が自然数じゃないことには違和感を感じないのですか？

この回答へのお礼

僕の質問を勘違いされているようですが、

L(n)=2n*sin(π/n)＝2πsin(π/n)/(π/n)
がnに関して単調増加であることを示したいのです。

L(n)の定義域は自然数で、値域は実数です。
つまり、L(n)は数列です。

普通、数列が単調増加であることを示すには微分を使いません。
この問題も、微分を用いずに、L(n)<L(n+1)であることの証明を教えていただきたいです。

お礼日時：2008/03/11 12:55