運動量と角運動量の違いと慣性モーメント

Question

運動量と角運動量の違いと、慣性モーメントについて教えて頂けませんか？

●運動量P
P=mv
●角運動量L
L=rP
L=Iω
●慣性モーメントI
I=mr^2

この式まではわかるのですが、運動量と角運動量が具体的にどう違うのかがわかりません。
運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかるのですが。
特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください。
あと、慣性モーメントについては理解が出来ません。
SI単位に直すとgm^2になるのはわかりますが、m^2というと面積のことなのでしょうか？
もしそうであれば、gm^2は面積当たりの重さを表すものだと思うのですが。

手元にある資料を見てもよくわからないので、噛み砕いて説明していただけるとありがたいです。

ddtddtddt · Accepted Answer

＞運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかる・・・
　運動量はベクトルでなく（たんなる数値で）、角運動量はベクトルだと思っている、という印象を受けました。
　運動量もベクトルです。質量ｍ（数値）の速度ベクトルをｖとして、

　　Ｐ＝ｍｖ

となります（ｍは質量）。そして、運動量ベクトルＰと、Ｐを持つ質点ｍの位置ベクトルrとから作られるベクトルが、角運動量ベクトルＬです。

　　Ｌ＝r×Ｐ＝r×(ｍｖ)＝ｍ(r×ｖ)

となります。ここで「×」は、二つのベクトルの外積を表します。
　Ｌ＝Ｉωについてですが、例えば、等速円運動の角速度をω（数値）とした場合、

　　|Ｌ|＝|r×Ｐ|＝|r×(ｍｖ)|＝ｍ|r×ｖ|
　　　　＝ｍ|r|・|ｖ|＝ｍ|r|・|r|ω
　　　　＝ｍ|r|^2・ω＝ｍr^2＝Ｉω　　(1)

が本来の意味です。ここで「|　|」はベクトルの長さ、「・」は数値の積を表し、最後の「r^2」は、rベクトルの内積の二乗で、|r|^2＝r^2と良く書かれます。

＞特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのか？
　これは、どういう事態かちょっとわかりませんでした。補足を下さい。

＞SI単位に直すとgm^2になるのはわかりますが、m^2というと面積のこと？
　(1)式で述べたように、位置ベクトルrの長さと|r|と、角速度と速度ベクトルの長さ（速さ）との比率|r|の積が、角運動量の中でr^2となって現れているだけです。

＞もしそうであれば、gm^2は面積当たりの重さを表すものだと思うのですが
　これも、何故そういう風に考えざる得ない事態になったのですか？。補足を下さい。

shippo_ppk · Answer

No.2です。
下記について

＞(1/2)mv^2 と (1/2)Iw^2
＞この対比を考えると、慣性モーメントは質量mに、角速度wは速度vに相当し、回転のしにくさを表わす量として納得できました。
この対比はよくわかりませんでしたが、回答を頂けたことに感謝です。


ｒ・ｗ = 0
の単純な円運動の場合で考えると、下記のようになり、私にはイメージを掴みやすかったからです。

(1/2)mv^2 = (1/2)m(ｗｘｒ)・(ｗｘｒ)
          = (1/2)(mr^2)w^2
          = (1/2)Iw^2

ddtddtddt · Answer

#1です。

＞”LはなぜPとｒに直交するか？”
　どうすれば回転を定義できるか、想像してみて下さい。回転は、回転軸と回転の勢いを与えれば、定義できると思いませんか？。
　回転軸を与えるためには、回転の中心と軸の方向が必要ですが、特に中心位置にこだわらない場合は、座標原点をとります（rベクトルの始点）。次に軸の方向ですが、回転軸が、rとｖベクトル（またはＰ＝ｍｖ）で張られる平面に直交するのは、明らかと思えませんか？。
　回転の勢いですが、上記で定義される平面内で考えると、rに左回りに直交する方向とｖとの成す角をθとして、|r||v|sinθで与えられます。なぜ|r|をかけるかと言うと、同じ角速度でも、rの終点での回転の勢いが、|r|に比例するので、このように定義します。
　以上のような性質を全て備えているのが、角運動量ベクトル、

　　Ｌ＝r×Ｐ，±|L|＝ｍ|r||v||sinθ|×[sinθの符号]

です。回転方向を逆向きにすると、sinθの符号も逆になるので、Ｌの方向も反対になります。

　右ねじ，左ねじに関しては、次のようになります。xy平面内の回転については、ふつう左回りを正とします。このときＬを作ると、(0，0，z)の形になり、右ねじだとz＞0で都合が良いので、たいてい右ねじ（右手系）でＬを定義します。

k_yuu01 · Answer

運動量とは、よく言われるように運動する物体の勢いですね。
P＝ｍｖ
つまり
dP/dt=F   (運動量の時間微分（時間変化）は力）
となります。速度ｖはベクトルですのでPはベクトルです。

角運動量は回転運動における運動量みたいなものと考えてください。
回転での力といえば力のモーメントがありますね
N＝rF　ってやつ。テコとかご存知でしょ。
角運動量を定義すると
dL/dt=N　（角運動量の時間微分（時間変化）は力（のモーメント））
っと、上記の運動量Pとの整合性がでてきます。もちろんLはベクトルです。

＞特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください

えっと、これは”LはなぜPとｒに直交するか？”と受け取っていいのでしょうか？詳しいことは他の方におまかせするとして、私なりに答えさせていただくと、「そうすると都合がいい」かな？

慣性モーメントは、回転運動における質量みたいなものと考えてください。
運動量がP＝mvならば
角運動量もL＝（重さ）×（速さ）の形であるろうと類推されます。
回転運動での力学ですから速さは角速度ω。重さに対応するのが慣性モーメントです。というよりL=Iωで、比例係数Iを慣性モーメントというのが定義なんですよ。

どうもしっくりこないようでしたら、なっとくするベクトル（講談社/小野寺嘉孝著）とかオススメです。

shippo_ppk · Answer

私も慣性モーメントは苦手です。回転のしにくさを表わす量なんて言われてもピンときません。でベクトル解析の本を開いてみると面白い式がありました。

剛体の運動エネルギー
  = (1/2)ｗ・Ｌ
  = (1/2)(Ixx・wx^2 + Iyy・wy^2 + Izz・wz^2 +2Ixy・wx・wy + ・・・・

P = mv と L = Iw
(1/2)mv^2 と (1/2)Iw^2
この対比を考えると、慣性モーメントは質量mに、角速度wは速度vに相当し、回転のしにくさを表わす量として納得できました。


>特にLのベクトル方向について、なぜ逆向きになるのかなど教えてください。
何に対して逆向きなのでしょうか。意味分からず。

運動量と角運動量の違いと慣性モーメント

＞運動量にベクトルを加えたのが角運動量だと言う事は何となくわかる・・・

この回答への補足

No.2です。

#1です。

運動量とは、よく言われるように運動する物体の勢いですね。

この回答への補足

私も慣性モーメントは苦手です。

この回答への補足

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