お世話になっております。
L=T-UにおけるUの表し方について少々混乱したので質問させていただきます。
仮に、円筒座標(r, φ, z)系においての一般的な保存力Fr Fφ Fz (各々rφzは添え字)が与えられていた場合ラグランジアンはどうなるのでしょうか?
簡単のために、質量mの質点の運動とします
#運動エネルギーに関して
T= m/2 * (x'^2 + y'^2 + z'^2)
を変数変換して (x=rcosφ ,y =rsinφ , z = z)
=m/2 (r'^2 + r^2・φ'^2)
となるのはわかりました。
#ポテンシャルエネルギーに関して
さて、ベクトルF=-∇U なので
Fr = - (U)r 式(a) ただし、(A)iはAのiによる偏微分とする。
Fφ= - (U)φ/r 式(b)
Fz = - (U)z 式(c)
です。
ここで質問なのですが
ポテンシャル原点を(x0,y0,z0)としたとき
Uはどのようにあらわされるのでしょうか?
式aをとけば U = -Fr・r + g(φ,z) ただしgは関数 (式A
cより U = -Fz・z + h(r,φ) (式B
となりますが
bの扱い方がよくわかりません。
(U)φ = -rFφ として
U = -rφ・Fφ + i(r,z) (式C
としてしまうと
式CはAに矛盾してそうです。
一体どこがおかしいのでしょうか?普通のxyz座標におけるUだと思われる
U = -Fx・(x-x0) - Fy・(y-y0) - Fz(z-z0)に類似した式までの変形過程をお教えいただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>えーっと、つまりFiはiだけの関数ではないということでしょうか?( i=r,φ,θ)
いいえ。Fiは定数ではないという事です。
>U = - Fx・x + g(y,z)のような計算は正しいのか?
Fxが定数なら正しいですが、そうでない場合には正しくありません。(実際,Fxが定数でないのなら、∇Uを考えると、Fxを微分した項も出てきますよね)
No.1
- 回答日時:
単に
U(r,θ,z) = U(x=rcosθ,y=rsinθ,z)
とするだけですよ。
>一体どこがおかしいのでしょうか?
Fr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存しないと思っているところです。
ご回答ありがとうございます。
>U(r,θ,z) = U(x=rcosθ,y=rsinθ,z)
とするだけですよ。
これはつまり、U = -Fx・(x-x0) - Fy・(y-y0) - Fz(z-z0)を変数変換して出せばいいということでしょうか?
もしそれだと、確かに出せはすると思うのですが天下り的なので・・・
できればちゃんと、円筒座標ではじめて、F = -∇Uの定義からもとめたいと思って質問させていただきました。
>一体どこがおかしいのでしょうか?
Fr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存しないと思っているところです。
えーっと、つまりFiはiだけの関数ではないということでしょうか?( i=r,φ,θ)
確かにもしFr= Fr(r,φ,θ)だと僕の式aからAへの変換はナンセンスそのものですが・・・
ということは新たな疑問点がわいてきました。
【質問2】
xyz座標系において、重力のような保存力を加えた場合
F = -∇U であるから
U = - Fx・x + g(y,z)のような計算は正しいのか?
【質問3】
質問2が正しい場合なぜ、保存力であるFrなどを、円筒座標系において同じ手続きをすると間違ってしまうのか? (つまり、どうしてFr,Fθ,Fφはr,θ,φに依存するのか?)
改めて質問してしまいましたがどうぞよろしくお願いいたします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 なめらかな水平面の床の上に、質量 200 g の物体がある。床の面を xy 面とし、鉛直方向に z 1 2022/07/23 11:28
- 物理学 角運動量の式変形が分かりません。 4 2022/08/03 21:04
- 物理学 ギブス自由エネルギー変化における体積変化の影響 1 2023/06/25 04:56
- その他(教育・科学・学問) 図のようなタワーがワイヤーでA点で地面に固定されている。ワイヤーの張力は300Nである。A点のワイヤ 1 2023/01/19 20:14
- 物理学 アインシュタインの質量とエネルギーの等価性(E=mc²)って間違ってますよね? 4 2023/01/14 13:29
- 物理学 ①運動量ベクトルをpとしてニュートンの運動方程式を微分方程式の形で表すとどうなりますか? ②運動中質 3 2022/10/15 22:48
- 生物学 【生命科学】ヒトが1日に消費するATP量?(精度を変えて再計算) 3 2022/10/07 18:48
- 数学 線形代数の2次元直交座標系、極座標系についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 20:42
- 物理学 角運動量の定義式 4 2022/12/18 05:36
- 宇宙科学・天文学・天気 AIが答えた方程式 1 2023/02/20 00:12
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
測量図の座標の出し方
-
高校物理基礎で、変位と位置の...
-
大学物理の問題が助けてください><
-
質量m 半径aの一様な円環の慣性...
-
スパン方向とはどの方向ですか?
-
「陽に含まない」について
-
ラディアル方向・タンジェンシ...
-
直交座標系で表す熱伝導方程式...
-
物理の問題です。
-
2物体の慣性モーメント
-
d軸インダクタンス・q軸インダ...
-
径方向?放射方向?
-
1つのばねで繋がれた2体問題
-
物理なんですけど、変位=x座標...
-
段差を乗り越えるのに必要なト...
-
特殊相対性理論におけるトンネ...
-
写真の問題についての質問です...
-
質点に与えられる力が、保存力F...
-
ね振り子の角度方向の運動と、...
-
さらに・・4次元距離って?
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
運動方程式の時間反転
-
スパン方向とはどの方向ですか?
-
高校物理基礎で、変位と位置の...
-
電磁気学でわからないところが...
-
SPEC 時間を止めて、銃で放たれ...
-
ラディアル方向・タンジェンシ...
-
段差を乗り越えるのに必要なト...
-
質量m 半径aの一様な円環の慣性...
-
径方向?放射方向?
-
鉛直面内での、円運動を考える...
-
物理なんですけど、変位=x座標...
-
2物体の運動を重心系で考えると...
-
変位座標から角速度・角度の求め方
-
表式ってなんですか?数学用語?
-
「陽に含まない」について
-
高1力学の運動量の問題です。問...
-
電磁気学、TEMモードでマクスウ...
-
流体力学 円筒座標系
-
慣性モーメント
-
次の力学の問題を教えてくださ...
おすすめ情報