離散数学の勉強を始めました。以下の問題を解きたいのですが、分かりません。お分かりの方、教えて頂けないでしょうか。quantifiersを使わずに、命題で表せという問題です。
Suppose we are considering the domain of just two numbers D = {0, 1}. Convert the following propositions containing quantifiers to propositions that do not use any quantifiers.
For example, ∀x P(x) can be restated as P(0) ∧ P(1).
1. ∀x ∃y P(x, y)
2. ∃x P(x) ∨ (∀y Q(x, y))
3. ¬ (∀x ∃y [P(x) → Q(y)])
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
> (P(0) ∨ P(1)) ∨ (Q(x, 0) ∧ Q(x, 1))
>
えー、xが残っちゃうの?
> ¬ ([(P(0)→Q(0)) ∨ P(1)→Q(1)] ∧ [(P(0)→Q(0)) ∨ P(1)→Q(1)])
>
¬1.のPを[P(x)→Q(y)]にすると、そうなる?
> なるほど、そういうことですね!わかりました。
>
じゃぁ、D={0}だとどうなるか?
> えー、xが残っちゃうの?
こうでしょうか?
(2)∃x P(x) ∨ (∀y Q(x, y))
↓
∃x P(x) ∨ (Q(x, 0) ∧ Q(x, 1))
↓
(P(0) ∨ (Q(0, 0) ∧ Q(0, 1)) ∨ (P(1) ∨ (Q(1, 0) ∧ Q(1, 1))
(3)¬ (∀x ∃y [P(x) → Q(y)])
↓
¬ (∀x [(P(x)→Q(0)) ∨ P(x)→Q(1)]
↓
¬ ([(P(0)→Q(0)) ∨ P(0)→Q(1)] ∧ [(P(1)→Q(0)) ∨ P(1)→Q(1)])
No.1
- 回答日時:
1. ∀x∃yP(x,y)
↓
∀xP(x,0)∨P(x,1)
↓
(P(0,0)∨P(0,1))∧(P(1,0)∨P(1,1))
For example, … に従って、∀xP(x)をP(0)∧P(1)に、∃xP(x)をP(0)∨P(1)に、それぞれ書き換えてみました。
この回答への補足
jmhさん、ご回答有り難うございます。
なるほど、そういうことですね!わかりました。
そうすると、(2)と(3)は以下のように考えましたが如何でしょうか。もしおわかりでしたらご教示頂きたいです。
(2)∃x P(x) ∨ (∀y Q(x, y))
↓
(P(0) ∨ P(1)) ∨ (Q(x, 0) ∧ Q(x, 1))
(3)¬ (∀x ∃y [P(x) → Q(y)])
↓
¬ (∀x [(P(x)→Q(0)) ∨ P(x)→Q(1)]
↓
¬ ([(P(0)→Q(0)) ∨ P(1)→Q(1)] ∧ [(P(0)→Q(0)) ∨ P(1)→Q(1)])
結局、回答は以下の通り。
xはfree variable、Precidence of Quantifiers。
(2)∃x P(x) ∨ (∀y Q(x, y))
↓
(P(0) ∨ P(1)) ∨ (Q(x, 0) ∧ Q(x, 1))
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