統計的に100人で10人受かる試験と1000人で100人受かる試験の受かりやすさはやはり同じか

Question

よろしくお願いいたします。
東大の理三の合格者のトップ10は毎年全員現役生で
浪人はほとんどいないと聞きます。ほかの上位校も同様だとか。
このように世の中には一握り突き抜けた実力者がいます。
そこで思うのですが、100人で10人受かる試験では10人ぐらいであれば
そのような実力者で埋まってしまい1000人で100人受かる試験の方が
一般人には合格が回ってくるように思います。
勝ち負けの確率が単純に2分の１ではないように
確率統計的な考察があるのかなと思い質問させていただきました。
よろしくお願いいたします

arrysthmia · Accepted Answer

試験は、抽選とは違いますね。
それぞれの受験者に能力の差があって、その順位があり、
当日の体調や出題との相性によって、順位に揺らぎが生ずる。
各人の得点は確率分布であり、分布の形（平均その他）は
受験生ごとに決まっている　というモデルで考えましょう。
倍率が同じ試験では、規模が大きい方が、
当落線近くの人数が増え、揺らぎの効果が大きくなります。
それが有利に働くか否かは、個々の受験生の能力によるでしょう。
実力順で当落線少し上の受験生は、１００人中１０人のほうが受かりやすい。
当落線少し下の受験生は、１０００人中１００人のほうが受かりやすい。
当落線から、上にしろ下にしろ遠い受験生には、どちらの試験も同じです。

arrysthmia · Answer

実力順で当落線少し上の受験生は、１００人中１０人のほうが受かりやすい。
当落線少し下の受験生は、１０００人中１００人のほうが受かりやすい。

受験者数の多い試験ほど、一般人にとってはギャンブルだが、
一部の秀才やお馬鹿さんにとっては、結果は見えている
ということでしょう。

Ishiwara · Answer

＃２です。
ただ「数学の約束ごとは厳密でなければいけない」ということを言ってみたかっただけです。質問者さんの主張されたいことは、非常によく理解できます。
例えば、旧制の東大では「学部」の下の「学科」単位で入試をやっていましたから、数学科なんか採用人数はせいぜい１０人。谷山豊は、たしか旧制の最後の学年で、ああいうのが「指定席」みたいに参加してくると、“一般人”の枠は、ほとんどなくなっちゃうのですよね。今の制度（とりあえず理科に入って、あとで数学科を狙う）のほうがいいかどうかは、よく分かりませんが。

keita173 · Answer

統計の専門家ではないですが、考え方の一つとして書かせていただきます。

まず、全員の受かる可能性が同様に確からしいと言えない場合、
単純に人数と合格者数を10倍にしても、結果が同じとは限りませんよね。
高校数学程度では、ここでお手上げではあるのですが……、
（私自身高校出ただけなので、これ以上の統計に関する知識はないのですが。）

条件にあった、「4％のペーパーテストの天才」が「天才の人数が合格者数を超えない限り、全員合格する」と仮定したら、
合格者数の中から、とりあえず天才の人数だけ合格者を確保し、残りの枠を凡人が争うと言う形になりそうですよね。
（天才が合格者の人数を超えていたら、凡人にとってそのテストに合格する確率は0でしょう。）
天才は確実に合格して、凡人の合格率は同様に確からしいとします。

実際にこの通りに計算してみると、
100人受けて10人合格するテストの場合、
4人は天才なので、凡人が争う枠は「96人の中から6人」であり、
凡人の合格率は「1/16」となり、6.25％です。
一方、1000人受けて100人合格するテストの場合、
40人は天才なので、凡人が争う枠は「960人の中から60人」であり、
凡人の合格率は「1/16」となり、6.25％です。
あれ、一緒になっちゃいましたね。（私も何か違いがあるかと思っていた。）

恐らく、東大受験のような場合、単純に天才の人数が受験者数に比例しないのでしょうね。
その年の受験生全体では（浪人生含め）、天才の人数は変わらないのです。
ほぼ全員が国公立は東大を受験するでしょう。（京大や東工大等もいるかも知れませんが。）
その場合、100人受けて10人合格する試験でも、1000人受けて100人合格するテストでも、
天才の人数にさほど変化はない、と考えられる気がします。
分かりやすく天才の人数を10人としたら、
100人受けて10人合格する試験では、凡人の合格率は0％、
1000人受けて100人合格する試験では、凡人の合格率は9.09％となります。

現実を全てこの程度の数学で片付けられるとは思えませんが、
どちらかと言えば、後半の考え方の方が現実に即しているような気がします。

Ishiwara · Answer

数学では「突出した天才がいる」とか「その他は凡人」とかいった表現は、情報が不足しているので、モデルとして扱うことはできません。１０人の受験者がいて、その能力の数理モデルが示されないときは、それらの人を平等に扱うことになり、１０/１００と１００/１０００とは、だれにとっても同じチャンスがあるということになります。

nishikasai · Answer

確率は同じだと思いますが、10人に一人となると少し事情が異なると思います。
という意味は、たとえば一人だけ天才的な人がいたとします。だれもその人に勝てない。もう突出した存在である、と。その場合は何度試験を受けてもその人がいる限りあなたはトップをとれない。
しかし100人で10人という状況ではそれほど天才的な人間は10人もいるわけない。つまり調子がよければあなたもその10人の中に入れるチャンスが出てくるというわけです。

統計的に100人で10人受かる試験と1000人で100人受かる試験の受かりやすさはやはり同じか

試験は、抽選とは違いますね。

実力順で当落線少し上の受験生は、１００人中１０人のほうが受かりやすい。

＃２です。

統計の専門家ではないですが、考え方の一つとして書かせていただきます。

数学では「突出した天才がいる」とか「その他は凡人」とかいった表現は、情報が不足しているので、モデルとして扱うことはできません。

確率は同じだと思いますが、10人に一人となると少し事情が異なると思います。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング