統計学の質問です。

工学部に在籍してる、大学１年生なんですが、統計学でどうしても分からない問題が課題として出題されました。

問題は白旗慎吾著の統計解析学という本からP90の4.4の問題です。パソコンで記入する上で不都合があるので、少し問題をかえています。
「確率変数UとVはともに一様分布U(0,1)に従い，互いに独立である。X=√(-2logU)×cos(2πV),Y=√(-2logU)×sin(2πV)とおくと，XとYは互いに独立でともに標準正規分布N(0,1)に従うことを示せ．」
（ルートの後の括弧は、その部分がルートの中にあり、「かける」の後はルートの外にあるということです。）

その本には、「XとYが独立で、それぞれの密度関数がf(x),g(x)ならUの密度関数は『h(u)=∫f(v)g(u-v)dv=∫f(u-v)g(v)dv (ただし∫は-∞から∞)』と書かれています。また定理に「ヤコビアンを行列式Jとおくと、(U,V)の密度関数は『h(u,v)=f(ψ1(u,v),ψ2(u,v))|J|』」と書かれているので、h(u)とh(u,v)が一致すればXとYの独立が示せると考えました。そこで、ヤコビアンの行列式を計算すると|J|=2π/Uとなり、ここまでは良かったのですが、その後からどうすればいいのかわかりません。XとYの密度関数を求めることができればと思い考えましたが、UとVが入っていてどうしても求められそうもありません。この先をどうすればいいのか教えてほしいのです。


提出日は今週金曜日の１７時なので、できればそれまでに教えてください。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： t-h1970 回答日時： 2008/07/18 03:06

こんばんわ

計算過程をタイプする根性がないので参考になりそうなHP
を見つけておきました。

これでわかるかな？手抜きで申し訳ないです。
でもちゃんと文書化してある方がわかりやすいと思います。

参考URLの2確率変ベクトルの関数の分布の項目を見てください。

参考URL：http://www.econ.hit-u.ac.jp/~tanaka/mathsta/chap …

この回答へのお礼

参考URLを参照して問題を解答でき、課題も無事提出することができました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/07/19 00:17

No.2 回答者： mfckouryu 回答日時： 2008/07/18 02:47

　すみません割り込みです。

私も全く分からず、検索していたらここにたどり着きました。　t-h1970さんの参考URLはとても参考になり私からもお礼を言わさせてもらいます。
　あと、akisute3さんの補足の質問ですが、q(x)、r(y)は簡単に表わせられますし、独立のほうは、「p(x,y)=q(x)r(y)」を示すで問題ないと思われます。
　お互いこれで今日提出できますねｗ

No.1 回答者： t-h1970 回答日時： 2008/07/17 02:38

こんばんわ

ええと、これ1年生が理解できるか微妙なところですね。



広義積分だったり変数変換だったりが必要です。


質問者さんの予備知識がわからないのでいかんともしがたいです。

方針としては上記した感じでとある関数を積分したり微分したりして出てきた値を分布を考察したりするんですが

とりあえず解き方としては
記載されている√云々はボックスミューラー変換と呼ばれていて
と書こうと思ったらwikiに載ってました。URL貼っておきます。

独立であるかどうかは定義と定理に従って証明すれば大丈夫です。
にしても予備知識がいります。


http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB03_90 …
ボックスミューラー変換についての解説です。


http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03.htm
こちらのHPを参考してみてください。変数変換についても載っていました。一通り読めばなんとかなると思います。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87% …

この回答への補足

回答ありがとうございます！
おかげでXとYが標準正規分布に従うところまでは理解できたのですが、独立であることの証明がどうしてもわかりません・・・

一通り定義と定理を調べてみましたが、どれに従えばいいのでしょうか？

「二つの確率変数が独立であるならば、確率密度は、p(x,y)=q(x)r(y)」
という定義から、この逆を示すという方針は間違っているのでしょうか？

何度も質問して申し訳ありません。回答のほどよろしくおねがいします。

補足日時：2008/07/17 15:28