剛体の力学(入試の問題)

この問題の解答がなくて困っています。どなたか解き方と解答を教えていただけませんか？

長さL、質量mの棒が壁に立てかけてある。壁面と棒が接触している点をQ,床と棒が接触している点をPとする。また壁面は床と垂直であり、壁面は滑らかであり、棒と壁の静止摩擦係数および動摩擦係数は０。質量Mの人が下端Pから登っていく。
問2
人が棒の中央まで来たときに、下端Pが滑る。棒がすべりながら倒れている途中の棒と壁面のなす角をθとする。このθに関する微分方程式を導け。ここで棒と床の間の動摩擦係数は０とし、人は常に棒の中央で棒と一体となっている。
問3
上端Qは壁面に沿って滑り落ち始めるが、θがある角度以上になると、棒の上端Qは壁面から離れる。棒が壁から離れるときの角度を求めよ。

No.4 回答者： Meowth 回答日時： 2008/08/18 14:02

角を原点として

角から床にそってx軸、壁にそってｙ軸をとれば
P：L(sinθ,0)
Q：L(0,cosθ）
とおける。
重心（中央）の座標xは
x=L/2(sinθ、cosθ）
見やすくするため、
d^2θ/dt^2=A
dθ/dt=ω
とおけば、
重心の運動速度vは
v＝dx/dt=L/2・dθ/dt・(cosθ,-sinθ)
=L/2・ω・(cosθ,-sinθ)
加速度aは
a=dx/dt=L/2{d^2θ/dt^2(cosθ,-sinθ)-(dθ/dt)^2(sinθ、cosθ)}
=L/2{A(cosθ,-sinθ)-ω^2(sinθ、cosθ)}
壁面からの反力（垂直抗力）Rは
R=(R,0)
床からの反力（垂直抗力）Nは
N=(０、N)
（ダランベールの原理による）つりあいの式は
(0,N)+(R,0)+(0,-(M+m)g)
-(M+m)L/2{A(cosθ,-sinθ)-ω^2(sinθ、cosθ)}=0
R-(M+m)L/2{Acosθ-ω^2sinθ}=0
N-(M+m)g-(M+m)L/2{-Asinθ-ω^2cosθ}=0
長さLの均一な細い棒の中心を通って
棒に垂直な軸の周りの慣性モーメントをIとすると
I＝L^2M/12
モーメントのつりあいは
L/2(Nsinθ-Rcosθ)-IA=0
まとめると支配方程式系は
L/2(Nsinθ-Rcosθ)-IA=0
R=(M+m)L/2{Acosθ-ω^2sinθ}
N=(M+m)g+(M+m)L/2{Asinθ+ω^2cosθ}
見やすくするため、無次元量を導入し、
t=√(L/g) t*
R=(M+m)g R*
N=(M+m)g N*
I=（M+m)L^2 I*
とおいて、さらに簡単のため、t*,R*,N*,I*は*を省略して
t,R,N,Iと書けば、
(Nsinθ-Rcosθ)-2IA=0
2R={Acosθ-ω^2sinθ}
2N=2-{Asinθ+ω^2cosθ}
となる。
2Nsinθ-2Rcosθ=4IA
(2-{Asinθ+ω^2cosθ})sinθ-{Acosθ-ω^2sinθ}cosθ=4IA
{A(sinθ)^2+ω^2cosθsinθ}+{A(cosθ)^2-ω^2sinθcosθ}=2sinθ-4IA
(1+4I)A=2sinθ　
A={2/(1+4I)}sinθ
これがθに関する微分方程式
[有次元に戻してI＝L^2M/24を代入すれば、
d^2θ/dt^2=(g/L){6(M+m)/(4M+3m)}sinθ
エネルギー積分すれば、
dθ/dt・d^2θ/dt^2={2/(1+4I)}sinθdθ/dt
1/2(dθ/dt)^2=-{2/(1+4I)}cosθ
(dθ/dt)^2=-{4/(1+4I)}cosθ+const
初期に静止しているとすれば、
θ=θ0:dθ/dt=0
(dθ/dt)^2={4/(1+4I)}(cosθ0-cosθ)

2R=Acosθ-ω^2sinθ=0
となるのは
A={2/(1+4I)}sinθ
ω^2=2{2/(1+4I)}(cosθ0-cosθ)
を代入すれば、
sinθcosθ-2(cosθ0-cosθ)sinθ=0
cosθ=2/3cosθ0

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/18 09:09

ANo.1さんのでよいのですが、ラグランジュ方程式はだめですか？

よりすっきりと出てきます。人は質点と考えてよいのですよね。
T=(3M+4m)/24 L^2θ'^2
U=(M+m)g・L/2・cosθ
L=T-U として運動方程式をたてると、
θ''=6(M+m)/(3M+4m)・g/L・sinθ となります。
問３は、やはりR=0よりθ''=θ'^2tanθ
これを微分方程式に代入して、
θ'^2=6(M+m)/(3M+4m)・g/L・cosθ
θの初期値θ0とすると、エネルギー保存に上を代入して
cosθ=2/3 cosθ0 を得ます。

No.2 回答者： kashimezai 回答日時： 2008/08/17 19:32

途中まで計算したところ結構大変そうです。

あとエネルギー保存の式をたてないとスマートにいかなそうです。

No.1 回答者： kashimezai 回答日時： 2008/08/17 19:29

壁面と床の交差点を原点OとしてOP方向にy軸、OQ方向にx軸を取る。

系にかかる力はQにおいて(R,0)、Pにおいて(0,N)、重心において(0,-(M+m)g)
重心回りの慣性モーメントをIとすると、回転の運動方程式は
Iθ"=N*L/2*sinθ-R*L/2*cosθ
重心の位置を(x,y)とすると、重心の並進運動方程式は
(M+m)x"=R
(M+m)y"=N-(M+m)g
拘束条件として重心の位置をθで表わすと
vec(OG)=1/2(x,y)=1/2(Lsinθ,Lcosθ)

これで未知数R、N、θ、x、yに対して5本の式が得られたので、θについて解いてください。

問3はやってないですが、R=0となるときのθを求めたらいいと思います。

院試ですか？お互い頑張りましょう(笑)