【オイラーの公式のｅとｉについて】　虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい

Question

【オイラーの公式のｅとｉについて】　虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい。

お願いします。
数年前に「オイラーの贈り物」（だったかな？）という本に出会いまして、
　exp（ｅ，ｉπ）＝－１　　　・・・（ア）
の式の意味を理解したくなりました。

　exp（ｅ，ｉ・θ）＝ｃｏｓ（θ）＋ｉ・sin（θ）　　・・・（イ）
（イ）の式で、θ＝０　の時に（ア）が導かれるのはわかりました。

しかし、指数関数の指数部が虚数になっている、ということが感覚的になじめません。というか、理解できません。

公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません。アレルギーかもしれません（笑）

４年制大学を卒業（しかも理系）した者として恥ずかしいのですが、いい年したオヤジの錆付いた脳みそにも浸透する、
易しくて、いや優しくて、キラリと光る解説は望めませんでしょうか。

まことに厚かましいお願いですが、皆様の知恵をお貸しください。

kabaokaba · Accepted Answer

級数の理論をきっちり構築して
複素数の範囲の級数で三角関数や指数関数の類を定義すれば
立派に「導く」ことができますね．

発見的な（まったく厳密ではない）考え方としては
cosθ＋isinθ=f(θ)
とおくと，三角関数の加法定理によって
整数s,tに対して
f(st)=f(s)f(t)
f(st)=f(s)^t
といった「指数法則」が成り立つので，
f(x)は何かの指数関数だろうと予測が付くわけです．
そこで，f(x)=a^x と表してみるわけです．
そして，大胆に微分をしてみると
a^x log(a) = f'(x)
= (-sin(x)+icos(x)) = i(cos(x)+isin(x))
= if(x) = i a^x
なので，log(a)=i すなわち，a=e^{i}
これでめでたく
e^{ix} = cos(x)+isin(x) 
と決定できるわけです．
＃この議論は微分方程式の部分 f'=if だけ取り出して，
＃初期条件と解の一意性を使えば正当化できます．
＃すなわち，微分方程式側からf(x)=e^{ix}，
＃解の一意性よりe^{ix} = cos(x)+isin(x) 

なお，exp(iθ)に「eを何回か掛ける」というような
「素朴な意味付け」はできません．
そもそも，有理数や負の数の指数の段階で
素朴な「何回か掛ける」から逸脱してるわけです．
あえて言いをつけるなら，
e^{実数}だったら「実軸上」から逃れられないが
e^{i(実数)}だと実軸から「実数」の分の角度だけ
はみ出してしまうくらいでしょう．

とりあえず，最近の書籍だと
結城浩「数学ガール---フェルマーの最終定理」（ソフトバンク）
に，このあたりの説明が，
知ってる人は誰でも知ってるけども，
あえて文書化されるようなことはあんまりなかった切り口で
説明されています．

＃i^iだと実数であるだけでなく「多価性」があるというのも
＃素朴な世界からは逸脱してますが。。。
＃三角関数の周期性の反映ですね

ojisan7 · Answer

No1です。質問者さんも私と同じだと思いますが、実数の複素数乗e^zは解析的に（級数で）定義すれば、それが実関数の自然な拡張になっていることは重々承知しているつもりです。また、そのように定義するしかないことも、充分承知しています。しかし、ここで問題になっていることは、「感覚的にどうか」ということです。私がいいたいのは、「実数の虚数乗（複素数乗）」は導かれるという性質のものではなく、（解析的に）定義されるものだということです。だから、感覚的になじめなくって当然のことだと申し上げているわけです。

HANANOKEIJ · Answer

東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著に、詳しく書かれています。
「オイラーの贈り物」も吉田さんの本ですね。
電卓をたたきながら「虚数の情緒」を読んでください。
朝倉書店数学３０講シリーズ「複素数３０講」志賀浩二著、１２７ページ、１２８ページに数学の専門家には、見られたくない図がでています。複素数の写像、関数をイメージや、図で表してくれる本には、なかなか出合えませんでした。「複素数」「関数論」「複素関数」という本をかなり立ち読みしましたが、吉田さんと志賀さんの本しか知りません。

rabbit_cat · Answer

＃２さんと言ってることは同じですが。
実数関数を複素数に拡張するときには、解析接続という操作をします。
単純に言えば、微分が、複素数でも実数と同様に行えるようにするわけです。
exp(x)に関して言えば（xは実数）
exp(x)をxで微分するとexp(x)になるわけですが、

xを複素数zに形式的に置き換えたexp(z)をzで微分したものがexp(z)になるように、exp(z)を定義すると、
exp(z) = cos(θ) + isin(θ)
になります。

kaitara1 · Answer

虚数の虚数乗（i^i）が実数であることも素人考えでは同じようにイメージできないことです。

33550336 · Answer

最初に定義したときの話の流れは知りませんが、
指数、三角関数を複素平面全体で正則なものとして定義しようと思えば自然とそうなります。というか一致の定理よりそうしかできません。
そもそもの複素関数としての指数、三角関数の定義は実数の範囲での原点まわりのテイラー展開の変数をそのまま複素数に拡張したものです。
実際に級数を書いてみれば（イ）の式が成り立つのもすぐにわかります。
なので決して直感的に理解するものではありません。
仮にできたとしてもそれは後付けしたものにすぎません。

ojisan7 · Answer

>>公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません

ｅ^(iθ)＝cos(θ)+i・sin(θ)は公式と呼ばれていますが、私は、「この公式を導く」という言い方のほうが、かえって違和感を感じます。「実数の虚数乗」は導かれるという性質のものではなく、定義するものですよね。感覚的になじめなくって当然のことです。
同様のことは「実数の行列乗」についてもいえます。Aを行列としたときe^(A)って何ですか？想像力をたくましくして、いろいろ思いをめぐらすことは自由ですので、何でもよいから思い描いて下さい。でも、結局はこの場合も定義するしかないということに行き着きます。当然のことですが、定義が違えば結果も違います。ｅ^(iθ)に別の定義を採用すればｅ^(iθ)≠cos(θ)+i・sin(θ)とすることもできるということです。
「実数の虚数乗」の概念はアプリオリではないということです。感覚的になじませようとすること自体が無理のような気がします。

【オイラーの公式のｅとｉについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい

級数の理論をきっちり構築して

No1です。

東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著に、詳しく書かれています。

＃２さんと言ってることは同じですが。

虚数の虚数乗（i^i）が実数であることも素人考えでは同じようにイメージできないことです。

最初に定義したときの話の流れは知りませんが、

>>公式を導く過程を読んでも、「実数の虚数乗」には違和感がぬぐえません

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