間接遷移のバンドギャップと吸収係数の関係式

間接遷移のバンドギャップと吸収係数の関係式についてです。
以下の関係式が成り立つということなのですが、
α^(1/2)=A（hν-Eg）------(1)

バンドギャップを求めるとき、縦軸が吸収係数の二乗、横軸がフォトンエネルギーであるグラフから求めているのを見ました。（ITO薄膜のグラフ）
(1)の式からそのグラフを描いていると思うのですが、つまりy=axみたいに考えて
α^2=a*Eg----------(2)
というような関係式になると思うんですけど、(1)の式を変形すると(2)のような式になるのでしょうか？私には変換できず困ってます。
そもそも考え方自体間違っているのでしょうか？

まだ習ったばかりなのでどなたか易しく教えてください。
宜しくお願いします。

No.1 回答者： hiro_wood 回答日時： 2008/09/16 00:52

Q1:(1)の式を変形すると(2)のような式になるのでしょうか？

　ならないようですね

Q2：そもそも考え方自体間違っているのでしょうか？

　おそらく(2)は直接遷移の場合の関係式ではないでしょうか

Q3：易しく教えてください

　難しく考えるとはまりますので（これから理論物理をやる人にとってはそれはそれでいいことかもしれませんが）さくっと「流す」感覚で読んでみてください。
　なお以下の表記でｈとしていますのはエイチバーです。文字がないのでそうしています。また、細かい表記に目を奪われることなくαとｈｗとEgそれに＾のあとの数字が0.5か2かにだけ気を配っていただければいいでしょう。

　光のエネルギー流密度Iとして、伝播方向の単位面積、単位あたりのIの減少が吸収係数αを与えるから、α=-(dI/dz)(1/I)　であって、すなわち　I=Io・exp（-αｚ）である。
　ここで、dz=(dz/dt)dt=vdt と書くと、-dI/dz=-dI/vdtは単位時間当たりの光のエネルギーの減少分と理解でき、これは遷移確率 W×フォトンのエネルギーhw　と等価である。
　従って、これらの関係から吸収係数α=hwW/Iとなる。
いっぽう光のエネルギー流密度Iはポインティングベクトルで与えられる(詳細の式はここでは略)ことと、価電子帯の状態と伝導帯の状態のペアとしての状態密度を結合状態密度を積分表式から導いた式　Jcv(hw)=4π/(2π)^3・(8μ1μ2μ3/h^6)^0.5・(hw-Eg)^0.5　を代入して(導出の式は書ききれないので略)結果としてα∝(hw-Eg)^0.5が得られる。ただしこれは直接遷移の場合です。
　一方、間接遷移の場合は、相互作用ハミルトニアンを「電子・光の相互作用ハミルトニアン」と「電子・フォノンの相互作用ハミルトニアン」の和として間接遷移確率を求める必要がある。
　様々な近似を駆使して(途中をすべてすっ飛ばすと)最終的には間接遷移の吸収係数
α=A/w・[(hw+hwq-Eg)^2/[exp(hwq/kBT)-1]+(hw-hwq-Eg)^2/[1-exp(-hwq/kBT)]]
が得られます。なおこれは1項がフォノンを吸収した後にフォトンを吸収する過程、2項はフォトンを吸収した後にフォノンを放出した過程に対応することを示しています。　実際には上記の項のうちどちらかがさらに無視できるとして(hw±hwq-Eg)^2にαが比例していると扱っているのだろうと思います。