支出関数の凸性について

支出関数は価格に対して凸性。

とあります。

証明は

p"=ap+(1-a)p' and x" solves Expenditure Minimization Problem (p").

e(p",u) = p"x"= (ap+(1-a)p')x"
=(ap)x"+(1-a)p'x"
>=ae(p,u)+(10a)e(p',u)

とあるのですが、この証明がさっぱり理解できません。

どなたか説明していただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： wahahann 回答日時： 2008/10/01 10:22

ども。

まず、変数の意味を説明してください。経済学だから、一応の"お約束"
として、p: price, x: quantity, e: expenditure, u: unit(utility?)
だと思いますが、無説明だと不親切だと思いますよ。

■たぶん、変数xについて、条件：x">=x'などが存在し、そのことがキー
　になっているのだと思います。違ったらごめんなさい。■

さて、
　p"=ap+(1-a)p' 　　　　　　　　　　　　　　(1)
　e(p",u) = p"x"　　　= {ap+(1-a)p'}x" (2)
　　　　　=(ap)x"+(1-a)p'x" (3)
　　　　　>=ae(p,u)+(10a)e(p',u) (4)
　で、引っかかっているのは、式3の第2項から式4の第2項へのトコなの
　ではないでしょうか？
その前に、まず確認。
　・式1は線形結合の定義式ですよね？式2もp=p", u=uの時の関数eの定
　　義式ではないでしょうか。で、式2の最右辺と式3は単に式1を代入し
　　たもの。この辺は、問題なかったろうと思います。
　・式2の関数eで、変数がuとなっているのが気になりますが、もし、u
　　がunitならば、u=一定という設定なのでしょうか？
　・式4で、(10a)となっているのは、(1-a)のミスでしょう。
で、本題。
　・式3で、(1-a)p'x"となっているものが、式4では(1-a)e(p',u)になっ
　　ているわけですが、推測するに；p=p"のときの式2の定義と同じよう
　　に、p=p'の時は、e(p',u)=p'x'という条件があるのではないでしょう
　　か？
　　ここがポイントだと推測したのですが、もし条件0<=x'<=x"というも
　　のがあるならば；
　　p'x">=p'x'=e(p',u)
　　になるはずです。そうすると、式3および式4の第2項を比べると、
　　(1-a)p'x">=(1-a)p'x'=(1-a)e(p',u)
　　になるはずです。式3と式4の第1項は式2の定義から同じなので、
　　不等式に影響を及ぼしません。第2項だけが犯人です。
　とまぁ、変数の中味を勝手に推測した限りですが、こんな感じではない
　でしょうか？違ったらごめんなさい。まずは、付加条件(x'やx"のこと)
　がないかどうか、もう一度確認してみてください。
ちなみに、凸性についてはご理解していると思いますが、式1の線形結合
の下で、費用関数が線形結合よりも上になることですよね。
2軸のxyグラフ(この場合は、e(p,u)とxかな？)に描いてみればわかると思
いますが、2点を結んだ線よりも上になりますよね。だから不等式になって
いるんだと思います。
ではでは。

No.2 回答者： nash50 回答日時： 2008/10/09 13:29

支出関数が価格について凸であるとは、任意のp,p'≫0とa∈[0,1]に対して

e(ap+(1-a)p',u)≧ae(p,u)+(1-a)e(p',u)
が成り立つことです。このことを示します。

まず、支出関数の定義を確認しておきます。
e(p,u)=px （x∈h(p,u)、h(p,u)はHicksian demand)
したがってxは価格pの下での支出最小化問題の解ということですので、u(x")≧uを満たす任意のx"に対してpx"≧px=e(p,u)が成り立ちます。

いま、p"=ap+(1-a)p'としp"の下での支出最小化問題の解をx"とすれば、x"はu(x")≧uを満たしています。
したがって上記の事実から
e(p",u)
=p"x"
=(ap+(1-a)p')x"
=a(px")+(1-a)(p'x")
≧ae(p,u)+(1-a)e(p',u)　（px"≧px=e(p,u)とp'x"≧p'x'=e(p',u)を用いた）
となります。