条件を満たす自然数

AO入試の問題です。
nを自然数とするとき、数列an=(3^n+5^n)/2^nとおく。
この時、nが偶数ならanは自然数でないことを示し、anが自然数となるｎをすべて求めよ。

この解き方が分かりません。解答は手に入れることが出来なくて・・・
二項定理など使ってみましたがどうも上手くいきません。
解答分かる方よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： KitCut-100 回答日時： 2008/11/10 23:45

解答します。

1) ｎが偶数なら anが自然数でないことを示します。
nが偶数であれば n=2k(K=1,2,3,,,)とおくことができる。
すると与式は
an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4)^k+1+(6x4^k+1)/4~k
ここで分子は4の倍数 + 2と 表す事ができるので,
an= ( 4xl+2)/4^k (lは 自然数)
となる。 ところでこれは分母が4の倍数であるが、分子が4の倍数+2であるた め割り切れない。 したがって anは自然数でない。

2) ｎが奇数であれば n=2k+1(K=0,1,2,3,,)と表すころができる。
すると与式は
an= ((3x(2*4+1)^k+5x(6:4+1)^k)/2/4^k
となる。
これはまた
an= (4l+8)/2/4^k (ｌは自然数)
と書く事ができる。 これが 自然数になるためには K=0,1のときのみである
したがって anが自然数となる nは n= 1,3 のみである 。
n=1 an= 4 n=3 an=19
以上

この回答への補足

回答ありがとうございます。

でも、
an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4)^k+1+(6x4^k+1)/4~k
となるのが良く分かりません。
どうして9^k=(2x4)^k+1になるのでしょうか。
9^=(8+1)^k=8^k+8x8^(k-1)+・・・・・+1となるように思うのですが・・・
すいませんが、もう少し説明してもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

補足日時：2008/11/11 07:28

No.3 回答者： KitCut-100 回答日時： 2008/11/13 03:32

恐れ入ります。

括弧の位置書き記間違えていました。修正します。

an = (9^k+25^k)/4^k = ((2x4+1)^k+(6x4+1)^k)/4~k

ここで分子は4の倍数 + 2と 表す事ができるので,
an= ( 4xl+2)/4^k (lは 自然数)
となる。 ところでこれは分母が4の倍数であるが、分子が4の倍数+2であるた め割り切れない。 したがって anは自然数でない。

この回答へのお礼

分かりました。
分子を４の倍数で表せばよかったんですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/11/13 07:33

No.2 回答者： kabotya636 回答日時： 2008/11/11 13:06

質問者、回答者どちらの方も既にお分かりのようなのですが、一応解説すると、（8の倍数+1）となるという事ですよ。

質問者の方は2項定理を理解、使用できる方なので、容易に理解できると思います。
展開式は、質問者の方がおっしゃるとうりです。

この回答へのお礼

なるほど、理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/11/13 07:31