No.7ベストアンサー
- 回答日時:
****■問題■******************************************************************
2次方程式X^2+X+1=0の二つの解をα、βとするとき、α^2,β^2もこの
方程式の解であることを示せ。
*******************************************************************************
☆解☆
係数の関係より、
α+β=-1
αβ=1
α^2+α+1=0
であるから、
α^2
=-α-1
=β
β^2+β+1=0
であるから、
β^2
=-β-1
=α
よって、
2次方程式X^2+X+1=0の二つの解をα、βとするとき、α^2(=β),β^2(=α)もこの
方程式の解である。 (Q.D.E)
---------------------------------------------------------------------------------------
No.6
- 回答日時:
yue7さん、こんばんは。
******************解と係数の関係********************************
方程式 ax^2+bx+c=0
の二つの解を、α、βとすると、
α+β=-b/a
αβ=c/a
*****************************************************************
さて、いま方程式x^2+x+1=0
の二つの実数解を、αとβとおくと、解と係数の関係から
α+β=-1 ・・・・・・・(☆)
αβ=1 ・・・・・・・(☆☆)
となることがいえますね。
ここで、α^2,β^2も解であることを証明するには、
α^2と、β^2の解と係数の関係が(☆)(☆☆)を満たすことを言えばよいですね。
α^2+β^2=(α+β)^2-2*αβ
=(-1)^2-2
=-1 ・・・・・(☆)と同じ
α^2*β^2=(αβ)^2=1^2=1 ・・・・(☆☆)と同じ
となり、同じ解と係数の関係を満たすことがいえます。
よって、αの2乗と、βの2乗は、ともに方程式x^2+x+1=0
の解であることが、証明されました。
ご参考になれば幸いです。がんばってください!!
No.5
- 回答日時:
#4です。
すいません、訂正です。(解法1)の5行目。
>⇔x^2-(α^2+β^2)x+α^2+β^2=0
とありますが、
⇔x^2-(α^2+β^2)x+α^2β^2=0
です。
No.4
- 回答日時:
x^2+x+1=0
の解がα、βである時に
α^2,β^2も解である事を示す。
という問題ですね?
(x^2はxの2乗という意味です)
(解法1)
αβ=1 であるから、α^2β^2=1
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=(-1)^2-2=-1
よって、α^2、β^2を解とするxの2次方程式は
(x-α^2)(x-β^2)=0
⇔x^2-(α^2+β^2)x+α^2+β^2=0
⇔x^2+x+1=0
よって、α^2,β^2も解となる。
(解法2)
x^2+x+1=0
の解がαなので、
α^2+α+1=0
⇔(α-1)(α^2+α+1)=0
⇔α^3=1
よって
α^2+α*1+1=0
⇔α^2+α*α^3+1=0
⇔(α^2)^2+α^2+1=0
よって、α^2はx^2+x+1=0の解である。
β^2も同様にx^2+x+1=0の解である。
No.3
- 回答日時:
2つの解を実際に求めてみて、一方をα、他方をβとおいて、
実際にα^2、β^2を計算して、示されている方程式の解であることを示す
という手段がひとつありますよね。
次に、複素数の知識があるなら、2次方程式X^2+X+1=0の両辺に(x-1)を
かけると、x^3-1=0になることより、α、βはx^3=1のx=1以外の
2解(複素共役解)であることがわかるので、
α=cos120°+i*sin120°、β=cos240°+i*sin240°とおいて、
α^2、β^2を計算して、示されている方程式の解であることを示す。
他の方法としては、α、βはX^2+X+1=0の解だから当然
α^2+α+1=0、β^2+β+1=0を満たす。これを用いる方法。
以下、α^2がX^2+X+1=0の解であることを示す。
α^4+α^2+1=0を示せばよいが、α^2+α+1=0より、
α^4=-(α^3+α^2)
ここで、α^3=-(α^2+α)、α^2=-(α+1)を使えば
(上の関係はすべてα^2+α+1=0の両辺にαの何乗かをかけることにより得られる)
α^4=-(α^3+α^2)
=(α^2+α)+(α+1)
=α
すなわちα^4+α^2+1=α^2+α+1となるが、これは=0
よって題意は示せた。
βについても同様で、上の証明のαをβにすればよいだけ。
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